Monoide: diferenças entre revisões
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Revisão das 17h04min de 14 de outubro de 2010
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Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro.
Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a idéia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.
Definição formal
Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo '*' uma operação qualquer:
- é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
- fechamento: dado o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ()
- associatividade: para todos vale
- existência do elemento neutro: existe um único e tal que para todo vale
- é um grupoide dotado das propriedades:
- associativa (associatividade) para todos vale
- existencia de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo vale
- é um semi-grupo dotado da existencia de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo vale .
Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.