Função homogênea

Uma função f(x) é homogênea de grau h se:

$f\left(\alpha x\right)=f\left(\alpha x_{1},\alpha x_{2},...,\alpha x_{n}\right)=\alpha ^{\color {red}h}f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma uma outra função que é uma combinação linear da função original

Exemplos

• $f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}$ é uma função homogênea de grau 2, pois, se multpliplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos uma nova função (que chamaremos de g):

$g\left(tx,ty\right)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}x^{2}+t^{2}y^{2}=t^{2}(x^{2}+y^{2})=t^{2}f\left(x,y\right)$

Ou seja, g é uma combinação linear da função inicial f.

• $f\left(x,y\right)={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, , obteremos uma nova função (que chamaremos de g):

$g\left(tx,ty\right)={\frac {(tx)^{2}}{(ty)^{2}}}$ $={\frac {t^{2}x^{2}}{t^{2}y^{2}}}=t^{0}*{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=t^{0}f\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)$