Função homogênea

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Uma função homogénea não é necessariamente contínua, como mostrado por este exemplo. Esta função f é definida por:
se ou
se .
Esta função é homogénea de grau 1, i.e. para quaisquer números reais . É descontínua em .

Uma função f(x) diz-se homogênea (português brasileiro) ou homogénea (português europeu) de grau se:

[1]

Ou seja, uma função homogênea é aquela que, se sofrer transformação em suas variáveis, resulta em uma outra função que é proporcional à função original.

O conceito de função homogênea é essencial no tratamento da Análise Dimensional. Além disso, é fundamental em física. De acordo com o teorema da homogeneidade, também conhecido como teorema de Vaschy-Buckingam, em toda a expressão, equação ou fórmula física, as dimensões de todos os seus termos devem ser idênticas (equação homogênea).[2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • é uma função homogênea de grau 2, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:
  • é uma função homogênea de grau 0, pois, se multiplicarmos as variáveis por uma constante t, obteremos:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Uma função homogênea algébrica u de duas variáveis (x,y) pode ser escrita como [3]

Analogamente, para uma função de várias variáveis (x, y, z, ...) pode-se mostrar que [3]

Derivadas de funções homogêneas[editar | editar código-fonte]

Se é homogênea de grau , então, para qualquer n, a função de derivada parcial é homogênea de grau (h-1) [4][Nota 1]

Identidade de Euler[editar | editar código-fonte]

A identidade de Euler aplicada às funções homogéneas dita o seguinte.

Seja uma função homogénea de grau , então verifica-se a seguinte igualdade:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

é homogénea de grau . Então

Notas e referências

Notas

  1. Note que a função constante, f(x) = c, é homogênea em grau zero, e a função nula, f(x) = 0, é homogênea em qualquer grau

Referências

  1. INTRILIGATOR, Michael D. mathematical optimization and economic theory. Prentice Hall, 1971. Página 467.
  2. LOPES, Hélio Bernardo. A importância da noção de função homogênea. Disponível em: <http://www.ensino.eu/em-artigo19.pdf>. Acesso em: 29 de março de 2011
  3. a b Thomas Jephson, The fluxional calculus: An elementary treatise (1830), Chapter IV. Fluxional Equations of two Variables of the first order and degree, p.109 [google books]
  4. MAS-COLELL, Andreu; WHINSTON, Michael e GREEN, Jerry R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995, página 928.