Teorema do confronto: diferenças entre revisões
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O '''teorema do confronto''' estabelece a existência do [[limite]] de uma [[função]] real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite. |
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Este teorema também é chamado de '''teorema do/da sanduíche''' , porque a sequência ou função se comporta como uma fatia de carne ensanduichada entre dois pedaços de pão. |
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* <math>a_n\leq b_n\leq c_n\,</math> |
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Então, <math>b_n\,</math> é uma sucessão convergente e ainda: |
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== Exemplo (com <math>x\in\mathbb{R}</math>) == |
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Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>-\frac{1}{x^2}</math> (azul ciano). |
Considere os gráficos à direita das funções <math>\frac{1}{x^2}</math> (azul escuro), <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> (cinzento tracejado) e <math>-\frac{1}{x^2}</math> (azul ciano). |
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Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica " |
Quando x tende para infinito (positivo) a função <math>\frac{\sin x}{x^2}</math> fica "enquadrada" pelas outras duas funções. |
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Este comportamento traduz-se analiticamente por: |
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Revisão das 15h50min de 14 de julho de 2012
O teorema do confronto estabelece a existência do limite de uma função real, contanto que no domínio de interesse esta esteja limitada entre duas funções, ambas convergentes para o mesmo limite.
Teorema do confronto para funções (Teorema das funções enquadradas)
Sejam , e funções reais definidas num domínio e seja um ponto (finito ou não) deste domínio, tais que:
Então existe o limite:
Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências (Teorema das sucessões enquadradas)
Sejam , e sucessões de números reais tais que:
Então, é uma sucessão convergente e ainda:
Exemplo (com )
Considere os gráficos à direita das funções (azul escuro), (cinzento tracejado) e (azul ciano).
Quando x tende para infinito (positivo) a função fica "enquadrada" pelas outras duas funções.
Este comportamento traduz-se analiticamente por:
E como:
,
Conclui-se que:
O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável x (nesse caso, ).