Monoide

Um monóide pode ser definido de 3 maneiras completamente equivalentes

(Sendo ' * ' uma operação qualquer)

1. é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades:
   1. fechamento: dado $a,b\in G$ o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ($a*b\in G$)
   2. associatividade: para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$
   3. existência do elemento neutro: existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$
2. é um grupóide dotado das propriedades:
   1. associativa (associatividade) para todos $a,b,c\in G$ vale $\left(a*b\right)*c=a*\left(b*c\right)=a*b*c$
   2. existencia de um elemento neutro e tal que existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$
3. é um semi-grupo dotado da existencia de um elemento neutro e: existe um único e tal que para todo $a\in G$ vale $\left(a*e\right)=a=\left(e*a\right)$.

Um monóide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.