Equação de Langevin: diferenças entre revisões

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Revisão das 21h55min de 7 de fevereiro de 2021

Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial, geralmente é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial normalmente pode ser decomposto em duas componentes um potencial estático e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o movimento browniano onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.

Exemplos de Equações de Langevin

Movimento Browniano

A equação de Langevin original, desenvolvida por Paul Langevin^[1], foi utilizada para descrever o movimento browniano. Neste processo o movimento de uma partícula browniana de massa $m$ e posição ${\boldsymbol {x}}(t)$ é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos: O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força $-\gamma {\boldsymbol {v}}(t)$ onde $\gamma$ é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {x}}}(t)$ é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) ${\boldsymbol {\eta }}(t)$ que se assume ser Gaussiana de media nula $\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {0}}$ , graças a Lei dos grandes números, e função de correlação $\left\langle \eta _{i}(t)\eta _{j}(t')\right\rangle =2d\gamma mk_{B}T\delta _{ij}\delta (\left\vert t-t'\right\vert )$ para todas as direções $i,j$ do espaço de $d$ dimensões onde $k_{\text{B}}$ é a constante de Boltzmann e $T$ é a temperatura do meio envolvente.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos:

m{\boldsymbol {a}}(t)=-\gamma \mathbf {v} (t)+{\boldsymbol {\eta }}(t),

onde ${\boldsymbol {a}}(t)={\ddot {\boldsymbol {x}}}(t)$ é a aceleração da partícula.

Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma Transformada de Laplace por exemplo):

m{\boldsymbol {v}}(t)=m{\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma \tau }{\boldsymbol {\eta }}(t-\tau )

,

daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:

$\left\langle {\boldsymbol {v}}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+{\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma (t-\tau )}\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(\tau )\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}$ ;

$\left\langle {\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}^{2}e^{-2\gamma t}+{\frac {1}{m^{2}}}\int _{0}^{t}d\tau \int _{0}^{t}d\tau '\ e^{-2\gamma \tau }\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ){\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ')\right\rangle =\left({\boldsymbol {v}}_{0}^{2}-{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}\right)e^{-2\gamma t}+{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}$ ;

note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio $(t\rightarrow \infty )$ a velocidade media da partícula é nula e

\left\langle {\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\frac {d}{2}}k_{\text{B}}T,

este é o famoso resultado do teorema da equipartição (de energia) para a energia media de partículas num gás perfeito.

Circuito Elétrico com Ruido Térmico

Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o ruido térmico numa resistência eléctrica:

L{\frac {dI(t)}{dt}}=-RI(t)+v(t).

Considerações Extra

Existe uma conexão direta entre uma equação de Langevin e a equação de Fokker-Planck correspondente geralmente facilitando a resolução do sistema, porem é preciso notar que nem todas as equações de Langevin têm uma e equação de Fokker-Planck correspondente (por exemplo se o ruído não for Gaussiano).

Soluções numéricas alternativas podem ser obtidas mediante simulação de Monte Carlo. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e mecânica quântica (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na equação de Schrödinger com uma transformação de variáveis).

Bibliografia

The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), by W T Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov (Université de Perpignan, France) & J T Waldron (Trinity College, Dublin, Ireland).
World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10).
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation.

↑ Langevin, P. (1908). «Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion]». C. R. Acad. Sci. Paris. 146: 530–533 ; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), doi:10.1119/1.18725

[1] Langevin, P. (1908). «Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion]». C. R. Acad. Sci. Paris. 146: 530–533 ; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), doi:10.1119/1.18725

[1]

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-Em [[física estatística]], uma '''equação de [[Paul Langevin|Langevin]]''' é uma [[equação diferencial estocástica]] que descreve o [[movimento browniano]] num [[Teoria do potencial|potencial]].
+Em [[física estatística]], uma '''equação de [[Paul Langevin|Langevin]]''' é uma [[equação diferencial estocástica]] que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial, geralmente é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial normalmente pode ser decomposto em duas componentes um potencial estático e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o [[movimento browniano]] onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.
+== Exemplos de Equações de Langevin ==
-As primeiras equações de Langevin que foram estudadas foram aquelas em que o potencial é constante, de forma que a aceleração <math>{a}</math> de una partícula browniana de massa <math>m</math> se expressa como a soma da força viscosa que é proporcional à velocidade da partícula <math>{v}</math> ([[lei de Stokes]]), um termo de ''ruído'' <math>\mathbf\eta(t)</math> que representa o efeito de uma série continua de choques com os átomos do fluido que forma o meio e <math>{F(x)}</math> que é a força de interacção sistemática produzida pelas interacções  [[Intramolecular|intramoleculares]] e [[Fuerza intermolecular|intermoleculares]]:
+==== Movimento Browniano ====
-:<math>m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = F(\mathbf{x}) - \beta \mathbf{v} + \eta(t).</math>
+A equação de Langevin original, desenvolvida por [[Paul Langevin]]<ref>{{cite journal |title=Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion] |last=Langevin |first=P. |year=1908 |pages=530–533 |volume=146 |journal=C. R. Acad. Sci. Paris}}; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: ''Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...]'', Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), {{doi|10.1119/1.18725}}</ref>, foi utilizada para descrever o [[movimento browniano]]. Neste processo o movimento de uma partícula browniana de massa <math>m</math> e posição <math>\boldsymbol{x}(t)</math> é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos: O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força <math>-\gamma \boldsymbol{v}(t)</math> onde <math>\gamma</math> é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e <math>\boldsymbol{v}(t) = \dot{\boldsymbol{x}}(t)</math> é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) <math>\boldsymbol{\eta}(t)</math> que se assume ser Gaussiana de media nula <math>\left \langle \boldsymbol{\eta}(t)\right \rangle = \boldsymbol{0}</math> , graças a [[Lei dos grandes números]], e função de correlação <math>\left \langle \eta_i(t) \eta_j(t') \right \rangle = 2 d \gamma m k_{B} T \delta_{ij} \delta(\left \vert t - t' \right \vert)</math> para todas as direções <math>i, j</math> do espaço de <math>d </math> dimensões onde <math>k_{\text{B}}</math> é a [[constante de Boltzmann]] e <math>T</math> é a temperatura do meio envolvente.
+Aplicando a [[Segunda Lei de Newton|segunda lei de Newton]] obtemos:
-Equações essencialmente similares aplicam-se a outros sistemas brownianos, tais como o [[ruido térmico]] numa resistência eléctrica:
+<center>   <math>m\boldsymbol{a}(t) = - \gamma \mathbf{v}(t) + \boldsymbol{\eta}(t),</math>  </center>
+onde <math>\boldsymbol{a}(t) =\ddot{\boldsymbol{x}}(t) </math> é a aceleração da partícula.
+Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma [[Transformada de Laplace]] por exemplo):
+<center>  <math>m\boldsymbol{v}(t) = m\boldsymbol{v}_0 e^{-\gamma t} +  \int_0^t d\tau \  e^{-\gamma \tau} \boldsymbol{\eta}(t-\tau)</math>,  </center>
+daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:
+* <math>\left \langle \boldsymbol{v}(t) \right \rangle = \boldsymbol{v}_0 e^{-\gamma t} +  \frac{1}{m} \int_0^t d\tau \  e^{-\gamma (t-\tau)} \left \langle \boldsymbol{\eta}(\tau) \right \rangle   = \boldsymbol{v}_0 e^{-\gamma t}  </math>;
+* <math> \left \langle \boldsymbol{v}^{2}(t)  \right \rangle =  \boldsymbol{v}_0^2 e^{-2\gamma t} + \frac{1}{m^2}\int_0^t d\tau \int_0^{t} d\tau' \  e^{-2\gamma \tau} \left \langle \boldsymbol{\eta}(t-\tau) \boldsymbol{\eta}(t-\tau')  \right \rangle =  \left ( \boldsymbol{v}_0^2 -\frac{d k_{\text{B}} T}{m} \right ) e^{-2\gamma t} + \frac{d k_{\text{B}} T}{m}                     </math>;
+note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio <math> (t \rightarrow \infty) </math> a velocidade media da partícula é nula e
+<center> <math> \left \langle \frac{1}{2} m \boldsymbol{v}^{2}(t)  \right \rangle = \frac{d}{2}  k_{\text{B}} T, </math> </center>
+este é o famoso resultado do [[Teorema da equipartição|teorema da equipartição (de energia)]] para a energia media de partículas num gás perfeito.
+==== Circuito Elétrico com Ruido Térmico ====
+Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o [[ruido térmico]] numa resistência eléctrica:
 :<math>L  \frac{d I(t)}{dt} = -R I(t) + v(t). </math>
+== Considerações Extra ==
-Podem obter numerosos resultados interessantes, mesmo sem resolver a equação de Langevin, a partir do [[teorema de flutuação-dissipação]].
+Existe uma conexão direta entre uma equação de Langevin e a [[Equação de Fokker–Planck|equação de Fokker-Planck]] correspondente geralmente facilitando a resolução do sistema, porem é preciso notar que nem todas as equações de Langevin têm uma e [[Equação de Fokker–Planck|equação de Fokker-Planck]] correspondente (por exemplo se o ruído não for Gaussiano).
-O método principal para se encontrar uma solução, se é que seja requerida uma solução, é utilizar a [[equação de Fokker-Planck]], que providencia uma equação determinística que é satisfeita pela densidade de probabilidade dependente do tempo. Soluções numéricas alternativas podem-se obter mediante simulação de [[Método de Monte Carlo|Monte Carlo]]. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e [[mecânica quântica]] (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na [[equação de Schrödinger]] se se transformarem algumas variáveis).
+Soluções numéricas alternativas podem ser obtidas mediante simulação de [[Método de Monte Carlo|Monte Carlo]]. Outras técnicas têm também sido utilizadas, que se baseiam na analogia entre física estatística e [[mecânica quântica]] (por exemplo, a equação de Fokker-Planck pode ser transformada na [[equação de Schrödinger]] com uma transformação de variáveis).
 == Bibliografia ==
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 [[Categoria:Mecânica estatística]]
+<references />