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Revisão das 09h12min de 23 de março de 2008

Se e somente se, em matemática, lógica e filosofia, é uma forma de expressão para um teorema: Se A então B, e se B então A; ou A se e somente se B. O correspondente símbolo lógico é $\Leftrightarrow$ .

Considerações

Seja a afimação:

Se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é impar, então x é par.

Existem maneiras concisas de expressar afirmações da forma A implica B e B implica A, nas quais não é necessário descrever as condições de A e B duas vezes cada uma. A expressao-chave para tais formas é se e somente se.

$\Rightarrow$ Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é ímpar.

Sobre as condições de A e B, elas podem ser, cada uma delas, verdadeira ou falsa, havendo assim, quatro possibilidades. Se a afirmação A se e somente se B é verdadeira, temos:

Condição A	Condição B
Verdadeira	Verdadeira	Possível
Verdadeira	Falsa	Impossível
Falsa	Verdadeira	Impossível
Falsa	Falsa	Possível

É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A $\Rightarrow$ B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B $\Rightarrow$ A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdaeiras ou ambas falsas. No exemplo acima a condição A é x é par e a condição B é x + 1 é ímpar. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B são ambas verdadeiras (6 é par e 7 é impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condições são falsas (9 não é par e 10 não é ímpar).

Alternativas

A sse B (abreviada);
A é necessário e suficiente para B;
A é equivalente a B (a condição A é válida exatamente nas mesma circunstâncias em que a condição B é);
A $\Leftrightarrow$ B .

Referências

SCHEINERMAN, Edward R. (2003). Matemática discreta: uma introdução. São Paulo. Poneira Thomson Learning. ISBN 8522102910.

Ver também

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-'''Se e somente se''', abreviado como '''Sse''' é utilizada em [[matemática]], [[lógica]] e [[filosofia]] que significa "se e só se". Deste modo estabelecem-se a condição necessária e a condição suficiente numa dupla implicação.
+'''Se e somente se''', em [[matemática]], [[lógica]] e [[filosofia]], é uma forma de expressão para um [[teorema]]: ''Se'' A ''então'' B, ''e se'' B ''então'' A; ''ou'' A ''se e somente se'' B. O correspondente símbolo lógico é <math>\Leftrightarrow</math>.
-O correspondente símbolo lógico é "&harr;".
+== Considerações ==
-A diferença entre "se" e "se e só se" pode ser apreciada no exemplo:
+Seja a afimação:
+* ''Se um [[inteiro]] x é [[par]], então x + 1 é [[ímpar]], e se x + 1 é impar, então x é par''.
-# Maria come a sopa ''se'' a sopa tem cenoura.
-#:
-# Maria come a sopa ''se e só se'' a sopa tem cenoura.
+Existem maneiras concisas de expressar afirmações da forma A ''implica'' B ''e'' B ''implica'' A, nas quais não é necessário descrever as condições de A e B duas vezes cada uma. A expressao-chave para tais formas é ''se e somente se''.
-A afirmação (1) apenas indica que Maria comerá sopa de cenoura. Nada diz sobre a possibilidade de que a Maria possa comer outra sopa qualquer que não tenha cenoura. Talvez coma, talvez não. A afirmação nada nos diz sobre isso. Apenas ficamos a saber que ela não se recusa a comer sopa de cenoura.
+* <math>\Rightarrow</math> ''Um inteiro x é par se e somente se x + 1 é ímpar''.
-A afirmação (2), no entanto, torna claro que a Maria comerá sopa com cenoura ''e apenas sopa com cenoura''. De certeza que recusará comer outra qualquer sopa sem cenoura.
+Sobre as condições de A e B, elas podem ser, cada uma delas, verdadeira ou falsa, havendo assim, quatro possibilidades. Se a afirmação A ''se e somente se ''B é verdadeira, temos:
+{|style="border:#EEEEEE solid 2px" width="30%" valign="top" cellpading="0" cellspacing="0"|
+|style="border:#EEEEEE solid 2px"|'''Condição A'''
+|style="border:#EEEEEE solid 2px"|'''Condição B'''
+|style="border:#EEEEEE solid 2px"|
+|
+|-
+|Verdadeira
+|Verdadeira
+|Possível
+|-
+|Verdadeira
+|Falsa
+|Impossível
+|-
+|Falsa
+|Verdadeira
+|Impossível
+|-
+|Falsa
+|Falsa
+|Possível
+|}
+É impossível a condição A ser verdadeira quando B é falsa, porque A <math>\Rightarrow</math> B. da mesma forma, é impossível a condição B ser verdadeira quando A é falsa, porque B <math>\Rightarrow</math> A. Assim as duas condições A e B devem ser ambas verdaeiras ou ambas falsas.
+No exemplo acima a condição A é ''x é par'' e a condição B é ''x + 1 é ímpar''. Para alguns inteiros (por exemplo, x = 6) A e B são ambas verdadeiras (6 é par e 7 é impar), mas para outros inteiros (x = 9), ambas as condições são falsas (9 não é par e 10 não é ímpar).
+===Alternativas ===
+* A ''sse'' B (abreviada);
+* A ''é necessário e suficiente para'' B;
+* A ''é equivalente a'' B (a condição A é válida exatamente nas mesma circunstâncias em que a condição B é);
+* A <math>\Leftrightarrow</math> B .
+== Referências ==
+* SCHEINERMAN, Edward R. (2003). ''Matemática discreta: uma introdução''. São Paulo. Poneira Thomson Learning. ISBN 8522102910.
 =={{Ver também}}==
+*[[Prova matemática]]
 *[[Condições necessárias e suficientes]]
 *[[Equivalência lógica]]
-{{esboço-matemática}}
 [[Categoria:Lógica matemática]]