Estrela (teoria dos grafos)

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Estrela
Star network 7.svg

A estrela S7.
vértices k+1
arestas k
Diâmetro 2
Cintura
Número cromático 2
Índice cromático k
Propriedades aresta-transitivo
Árvore
Distância-unidade
Bipartido
Notação Sk

Em teoria dos grafos, uma estrela Sk é o grafo bipartido completo K1,k, uma árvore com um nó interno e k folhas. Uma estrela com 3 arestas é chamada uma garra[1].

A estrela Sk é aresta-elegante quando k é par e não quando k é ímpar. Ela é aresta-transitiva, unidade-distância e têm diâmtero 2, cintura ∞, índice cromático k e número cromático 2.

Estrelas também podem ser descritas como os únicos grafos conectados em que no máximo um vértice tem grau maior que um.

Relação com outras famílias de grafos[editar | editar código-fonte]

Garras são notáveis na definição de grafos sem garra, os grafos que não tem qualquer garra como subgrafo induzido[2][3].

Uma estrela é um tipo especial de árvore. Como acontece com qualquer árvore, as estrelas podem ser codificados por uma sequência Prüfer; A sequência Prüfer para uma estrela K1,k consiste de k − 1 cópias do vértice central[4]. Uma árvore pode ser vista como um conjunto de estrelas (pares ou ímpares) ligadas pelos pontos centrais[5].

Diversos grafos invariantes são definidos em termos de estrelas. Arboricidade de estrela é o menor número de florestas que um grafo pode ser particionado em tal modo que cada árvore em cada floresta é uma estrela[6], e o número cromático de estrela de um grafo é o menor número de cores necessário para colorir seus vértices de tal forma que cada duas classes de coloração, juntas, formam um subgrafo em que todos os componentes conectados são estrelas[7]. Os grafos de comprimento de ramo 1 são exatamente os grafos em que cada componente conectado é uma estrela[8].

Os grafos estrela S3, S4, S5 e S6.

Outras aplicações[editar | editar código-fonte]

O conjunto de distâncias entre os vértices de uma garra fornece um exemplo de um espaço métrico finito, que não pode ser incorporado isometricamente em um espaço euclideano de qualquer dimensão[9].

A rede em estrela, uma rede de computadores modelado em um grafo de estrela, é importante em computação distribuída.

Referências

  1. BOAVENTURA NETTO, Paulo Oswaldo (2001). Grafos. Teoria, Modelos Algoritmos. São Paulo: Edgard Blücher. p. 27. ISBN 85-212-0292-X 
  2. FAUDREE, Ralph; FLANDRIN, Evelyne; RYJÁčEK, Zdeněk (1997). «Claw-free graphs — A survey». Discrete Mathematics. 164 (1–3). pp. 87–147. doi:10.1016/S0012-365X(96)00045-3 .
  3. Chudnovsky, Maria; Seymour, Paul (2005), «The structure of claw-free graphs», Surveys in combinatorics 2005 (PDF), London Math. Soc. Lecture Note Ser., 327, Cambridge: Cambridge Univ. Press, pp. 153–171 .
  4. Gottlieb, J.; Julstrom, B. A.; Rothlauf, F.; Raidl, G. R. (2001), «Prüfer numbers: A poor representation of spanning trees for evolutionary search», Proc. Genetic and Evolutionary Computation Conference (PDF), Morgan Kaufmann, pp. 343–350 
  5. BARBOSA, Ruy Madsen (1975). Combinatória e Grafos. 2. São Paulo: Livraria Nobel. p. 196 
  6. Hakimi, S. L.; Mitchem, J.; Schmeichel, E. E. (1996), «Star arboricity of graphs», Discrete Math., 149: 93–98, doi:10.1016/0012-365X(94)00313-8 
  7. FERTIN, Guillaume; RASPAUD, André; REED, Bruce (2004). «Star coloring of graphs». Journal of Graph Theory. 47 (3). pp. 163–182. doi:10.1002/jgt.20029 
  8. ROBERTSON, Neil; SEYMOUR, Paul D. (1991). «Graph minors. X. Obstructions to tree-decomposition». Journal of Combinatorial Theory. 52 (2). pp. 153–190. doi:10.1016/0095-8956(91)90061-N 
  9. Linial, Nathan (2002), «Finite metric spaces–combinatorics, geometry and algorithms», Proc. International Congress of Mathematicians, Beijing, 3, pp. 573–586, Arxiv