Fórmula de Cartan

Em Geometria Diferencial, as fórmulas de Cartan relacionam a derivada de Lie ao longo de um campo vetorial, a derivada exterior e a contração.

Derivada de Lie e Contração

Seja $X$ um campo de vetores sobre uma variedade diferenciável. Seja $(\varphi ^{t})_{t}$ o fluxo (local) gerado por $X$. Recordemos que para uma forma diferencial $\omega$, podemos definir a forma diferencial ${\mathcal {L}}_{X}\omega$ por

${\mathcal {L}}_{X}\omega =\lim _{t\to 0}{\frac {(\varphi ^{t})^{\ast }\omega -\omega }{t}}.$

Essa forma diferencial é chamada de derivada de Lie de $\omega$ ao longo de $X$. Temos as seguintes propriedades:

${\mathcal {L}}_{X}(\omega \wedge \theta )=({\mathcal {L}}_{X}\omega )\wedge \theta +\omega \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\theta )$

${\mathcal {L}}_{X}(d\theta )=d({\mathcal {L}}_{X}\theta ).$

Para $Y$ um campo vetorial, definimos o campo vetorial ${\mathcal {L}}_{X}Y$ por

${\mathcal {L}}_{X}Y\vert _{p}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi _{\ast }^{-t}Y_{\varphi ^{t}(p)}-Y_{p}}{t}}.$

Trata-se do colchete de Lie ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$. Recorde que $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))$. A equivalência entre essas duas definições do colchete de Lie pode ser provada localmente; é um bom exercício no uso da regra da cadeia.

Se $\omega \in \Omega ^{r}(M)$, a contração de $\omega$ por $X$ é a $(r-1)$-forma dada por $i_{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{r-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{r-1})$. Denota-se também por $X\mathbin {\lrcorner } \omega$. Temos a propriedade

$i_{X}(\omega \wedge \theta )=(i_{X}\omega )\wedge \theta +{(-1)}^{r}\omega \wedge (i_{X}\theta )$. É consequência da propriedade análoga do produto exterior.

As fórmulas mágicas de Cartan

Fórmula de homotopia de Cartan

A fórmula é ${\mathcal {L}}_{X}=i_{X}\circ d+d\circ i_{X}$. Para a prova, note que (i) ambos os membros são transformações lineares; (ii) a fórmula vale para funções suaves; (iii) a fórmula vale para 1-formas exatas, isto é, para diferenciais $df$; (iv) se a fórmula vale para $\omega$ e para $\theta$, então vale para $\omega \wedge \theta$. Localmente, toda forma pode ser expressada utilizando essas operações, logo a fórmula vale para toda forma diferencial.

Segunda fórmula mágica

A segunda fórmula de Cartan é $i_{[X,Y]}={\mathcal {L}}_{X}\circ i_{Y}-i_{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}$. Não é muito difícil ver que é uma consequência da igualdade ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$.

Definição invariante da derivada exterior

Seja $\omega \in \Omega ^{1}(M)$ e sejam $X$ e $Y$ campos de vetores em $M$. Temos ${\mathcal {L}}_{X}\circ i_{Y}=d\circ i_{X}\circ i_{Y}+i_{X}\circ d\circ i_{Y}$, $i_{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}=i_{Y}\circ i_{X}\circ d+i_{Y}\circ d\circ i_{X}$; logo $i_{[X,Y]}=d\circ i_{X}\circ i_{Y}+i_{X}\circ d\circ i_{Y}-i_{Y}\circ i_{X}\circ d-i_{Y}\circ d\circ i_{X}$, então $\omega ([X,Y])=X(\omega (Y))-d\omega (X,Y)-Y(\omega (X))$, ou, equivalentemente,

$\mathrm {d} \omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).$

Com um pouco mais de trabalho, chegamos à fórmula

$\mathrm {d} \omega (X_{1},\ldots ,X_{k+1})=\sum _{1\leq i\leq k+1}\left(-1\right)^{i-1}X_{i}{\bigl (}\omega (X_{1},\ldots ,{\widehat {X_{i}}},\ldots ,X_{k+1}){\bigr )}+\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j}\omega {\bigl (}[X_{i},X_{j}],X_{1},\ldots ,{\widehat {X_{i}}},\ldots ,{\widehat {X_{j}}},\ldots ,X_{k+1}{\bigr )},$

que pode ser usada para definir a derivada exterior, sem menção a sistemas locais de coordenadas.

Parênteses de Poisson

Considere uma variedade simplética $(M,\omega )$ e o parêntese de Poisson associado $\{\cdot ,\cdot \}\,\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M).$ Sejam $\mathbf {X} _{f}$ e $\mathbf {X} _{g}$ os campos Hamiltonianos associados às hamiltonianas $f,g$, isto é, $i_{\mathbf {X} _{f}}\omega =-df,i_{\mathbf {X} _{g}}\omega =-dg$. Pelas duas fórmulas mágicas de Cartan,

${\begin{aligned}i_{[\mathbf {X} _{f},\mathbf {X} _{g}]}\omega &={\mathcal {L}}_{\mathbf {X} _{f}}(i_{\mathbf {X} _{g}}\omega )-i_{\mathbf {X} _{g}}({\mathcal {L}}_{\mathbf {X} _{f}}\omega )\\&=i_{\mathbf {X} _{f}}(\underbrace {d(-dg)} _{=0})+d(i_{\mathbf {X} _{f}}(i_{\mathbf {X} _{g}}\omega ))-i_{\mathbf {X} _{g}}(i_{\mathbf {X} _{f}}\underbrace {d\omega } _{=0})-i_{\mathbf {X} _{g}}(d(-df))\\&=d(i_{\mathbf {X} _{f}}i_{\mathbf {X} _{g}}\omega )\\&=-d\{f,g\}.\end{aligned}}$

Portanto, $[\mathbf {X} _{f},\mathbf {X} _{g}]=\mathbf {X} _{\{f,g\}}$. Daí, $\mathbf {X} _{f}(\mathbf {X} _{g}(h))-\mathbf {X} _{g}(\mathbf {X} _{f}(h))=\mathbf {X} _{\{f,g\}}(h)$; logo $\{f,\{g,h\}\}-\{g,\{f,h\}\}=\{\{f,g\},h\}$. Equivalentemente, $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$. Trata-se da identidade de Jacobi, que imediatamente nos dá o

Teorema de Poisson-Jacobi. Se $f$ e $g$ são integrais de movimento, também o é $\{f,g\}$.