Teorema de Herão


Na geometria, a fórmula de Heron (ou fórmula de Hero) fornece a área de um triângulo em termos dos comprimentos dos seus três lados , e . Definindo como o semiperímetro do triângulo, dado por , a área é calculada por:[1]
A fórmula recebe o nome do engenheiro do século I, Heron de Alexandria (ou Hero), que a demonstrou em sua obra Metrica, embora provavelmente fosse conhecida séculos antes.
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Considere o triângulo com lados , e . O semiperímetro é:
Assim, , e . A área é dada por:
Neste exemplo, os lados e a área são inteiros, caracterizando um triângulo heroniano. No entanto, a fórmula de Heron funciona igualmente para lados que são reais, desde que obedeçam à desigualdade triangular estrita, definindo um triângulo no plano euclidiano com área positiva.
Expressões Alternativas
[editar | editar código-fonte]A fórmula de Heron pode ser expressa diretamente em termos dos lados, sem usar o semiperímetro, de várias formas:
Após expansão, a expressão sob a raiz é um polinômio quadrático dos quadrados dos lados , e .
A mesma relação pode ser expressa usando o determinante de Cayley-Menger:[2]
História
[editar | editar código-fonte]A fórmula é atribuída a Heron de Alexandria (fl. 60 d.C.), que a demonstrou em Metrica.[3] O historiador matemático Thomas Heath sugeriu que Arquimedes a conhecia dois séculos antes.[4] Como Metrica é uma coletânea do conhecimento matemático da antiguidade, a fórmula pode ser ainda mais antiga.[5]
Uma fórmula equivalente foi descoberta pelo matemático chinês Qin Jiushao, publicada em Tratado Matemático em Nove Seções (1247):[6]
Provas
[editar | editar código-fonte]Existem várias maneiras de demonstrar a fórmula de Heron, como usando trigonometria, o incentro e uma excircunferência, o teorema de De Gua (para triângulos agudos) ou como caso especial da fórmula de Brahmagupta (quadrilátero cíclico degenerado).
Prova trigonométrica com a lei dos cossenos
[editar | editar código-fonte]Uma prova moderna, usando álgebra, segue:[7] Sejam , , os lados e , , os ângulos opostos. Pela lei dos cossenos:
Segue que:
A altura sobre a base é , e a área é:
Prova algébrica com o teorema de Pitágoras
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Por teorema de Pitágoras, e . Subtraindo, obtém-se , donde:
A altura é . Substituindo e usando a identidade da diferença de quadrados:
A área é:
Estabilidade Numérica
[editar | editar código-fonte]A fórmula de Heron, como apresentada, é numericamente instável para triângulos com ângulos muito pequenos em aritmética de ponto flutuante. Uma alternativa estável, ordenando , é:[8]
Generalizações
[editar | editar código-fonte]A fórmula de Heron é um caso especial da fórmula de Brahmagupta para quadrilátero cíclico, obtida ao zerar um lado. Para um quadrilátero cíclico de lados , , , e semiperímetro :
Ambas são casos especiais da fórmula de Bretschneider para quadriláteros gerais.
Ver Também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ Kendig, Keith (2000). «Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?» 5 ed. The American Mathematical Monthly. 107: 402–415. JSTOR 2695295. MR 1763392. doi:10.1080/00029890.2000.12005213. Consultado em 27 de dezembro de 2021
- ↑ Havel, Timothy F. (1991). «Some examples of the use of distances as coordinates for Euclidean geometry» 5–6 ed. Journal of Symbolic Computation. 11: 579–593. doi:10.1016/S0747-7171(08)80120-4
- ↑ Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). «A medieval proof of Heron's formula» 7 ed. The Mathematics Teacher. 62: 585–587. JSTOR 27958225. MR 256819. doi:10.5951/MT.62.7.0585
- ↑ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics. II. [S.l.]: Oxford University Press. pp. 321–323
- ↑ Weisstein, Eric W. «Fórmula de Heron». MathWorld (em inglês)
- ↑ 秦, 九韶 (1773). «卷三上, 三斜求积». 數學九章 (四庫全書本) (em chinês). [S.l.: s.n.]
- ↑ Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. [S.l.]: The Mathematical Association of America. pp. 7–8
- ↑ Sterbenz, Pat H. (1974). Floating-Point Computation. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3