Teorema de Herão

 Nota: Para cálculo da área de um triângulo, veja cálculo de uma raiz quadrada.

Um triângulo com lados a, b e c

Na geometria, a fórmula de Heron (ou fórmula de Hero) fornece a área de um triângulo em termos dos comprimentos dos seus três lados $a$, $b$ e $c$. Definindo $s$ como o semiperímetro do triângulo, dado por $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$, a área $A$ é calculada por:

$$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$$

A fórmula recebe o nome do engenheiro do século I, Heron de Alexandria (ou Hero), que a demonstrou em sua obra Metrica, embora provavelmente fosse conhecida séculos antes.

Exemplo

Considere o triângulo $\triangle ABC$ com lados $a=4$, $b=13$ e $c=15$. O semiperímetro é:

$$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)={\frac {1}{2}}(4+13+15)=16.$$

Assim, $s-a=12$, $s-b=3$ e $s-c=1$. A área é dada por:

$${\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\[3mu]&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}\\[3mu]&=24.\end{aligned}}$$

Neste exemplo, os lados e a área são inteiros, caracterizando um triângulo heroniano. No entanto, a fórmula de Heron funciona igualmente para lados que são reais, desde que obedeçam à desigualdade triangular estrita, definindo um triângulo no plano euclidiano com área positiva.

Expressões Alternativas

A fórmula de Heron pode ser expressa diretamente em termos dos lados, sem usar o semiperímetro, de várias formas:

$${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}$$

Após expansão, a expressão sob a raiz é um polinômio quadrático dos quadrados dos lados $a^{2}$, $b^{2}$ e $c^{2}$.

A mesma relação pode ser expressa usando o determinante de Cayley-Menger:

$$-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.$$

História

A fórmula é atribuída a Heron de Alexandria (fl. 60 d.C.), que a demonstrou em Metrica. O historiador matemático Thomas Heath sugeriu que Arquimedes a conhecia dois séculos antes. Como Metrica é uma coletânea do conhecimento matemático da antiguidade, a fórmula pode ser ainda mais antiga.

Uma fórmula equivalente foi descoberta pelo matemático chinês Qin Jiushao, publicada em Tratado Matemático em Nove Seções (1247):

$$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}.$$

Provas

Existem várias maneiras de demonstrar a fórmula de Heron, como usando trigonometria, o incentro e uma excircunferência, o teorema de De Gua (para triângulos agudos) ou como caso especial da fórmula de Brahmagupta (quadrilátero cíclico degenerado).

Prova trigonométrica com a lei dos cossenos

Uma prova moderna, usando álgebra, segue: Sejam $a$, $b$, $c$ os lados e $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ os ângulos opostos. Pela lei dos cossenos:

$$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$$

Segue que:

$$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$$

A altura sobre a base $a$ é $b\sin \gamma$, e a área é:

$${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\text{base}})({\text{altura}})\\[6mu]&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$$

Prova algébrica com o teorema de Pitágoras

Triângulo com altura $h$ dividindo a base $c$ em $d+(c-d)$

Por teorema de Pitágoras, $b^{2}=h^{2}+d^{2}$ e $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$. Subtraindo, obtém-se $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd$, donde:

$$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$$

A altura é $h^{2}=b^{2}-d^{2}$. Substituindo $d$ e usando a identidade da diferença de quadrados:

$${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[6mu]&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\[6mu]&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}$$

A área é:

$$A={\frac {ch}{2}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$$

Estabilidade Numérica

A fórmula de Heron, como apresentada, é numericamente instável para triângulos com ângulos muito pequenos em aritmética de ponto flutuante. Uma alternativa estável, ordenando $a\geq b\geq c$, é:

$$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.$$

Generalizações

A fórmula de Heron é um caso especial da fórmula de Brahmagupta para quadrilátero cíclico, obtida ao zerar um lado. Para um quadrilátero cíclico de lados $a$, $b$, $c$, $d$ e semiperímetro $s={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)$:

$$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.$$

Ambas são casos especiais da fórmula de Bretschneider para quadriláteros gerais.

Ver Também

• Fórmula da área de um paralelogramo
• Fórmula de Brahmagupta

Ligações Externas

• Weisstein, Eric W. «Fórmula de Heron». MathWorld (em inglês) 
• Prova do Teorema de Pitágoras com a Fórmula de Heron no cut-the-knot