Fração algébrica

Fração algébrica, em álgebra elementar, é uma fração em que contém incógnita no denominador.

Em ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$, a incógnita $x$ no denominador, faz com que a fração seja algébrica.

Essa terminologia de fração, indica o quociente de polinômios. Nela, uma ou mais variáveis aparecem no denominador. Como não existe divisão por zero, o denominador de uma fração algébrica necessariamente tem que ser diferente de zero. Caso contrário, ela não representa um número $\mathbb {R} \,$.

Simplificação

Nas simplificações de frações dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). Isso equivale a cancelar os fatores comuns e obter uma fração mais simples. Usando esse mesmo procedimento, podemos simplificar uma fração algébrica quando ela apresenta um fator comum, não-nulo, ao numerador e ao denominador..

${\frac {4xy^{2}}{6x^{2}y}}={\frac {{\color {Red}2}\cdot 2\cdot {\color {Red}x}\cdot y\cdot {\color {Red}y}}{{\color {Red}2}\cdot 3\cdot {\color {Red}x}\cdot x\cdot {\color {Red}y}}}={\frac {2y}{3x}}$
${\frac {y^{2}+4y+4}{y^{2}-4}}={\frac {(y+2)^{2}}{(y+2)(y-2)}}={\frac {{\color {Red}(y+2)}(y+2)}{{\color {Red}(y+2)}(y-2)}}={\frac {y+2}{y-2}}$
${\frac {16-t^{2}}{8+2t}}={\frac {{\color {Red}(4+t)}(4-t)}{2{\color {Red}(4+t)}}}={\frac {4-t}{2}}$

Operações

Adição e subtração

Na adição e subtração deve ser calculada da mesma maneira de uma fração fracionária. Obtém-se frações equivalentes e de mesmo denominador; o denominador comum poderá ser o produto ou o mmc dos denominadores; somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum.

${\frac {1}{x-y}}+{\frac {x}{x^{2}-y^{2}}}={\frac {x+y}{(x+y)(x-y)}}+{\frac {x}{(x+y)(x-y)}}={\frac {x+y+x}{(x+y)(x-y)}}={\frac {2x+y}{(x+y)(x-y)}}={\frac {2x+y}{x^{2}-y^{2}}}$

olá b

Multiplicação

As multiplicações de frações algébricas devem ser calculadas da mesma mesma de uma fração fracionária.

${\frac {6xy}{x^{2}-y^{2}}}\cdot {\frac {x+y}{2x}}={\frac {6xy}{(x+y)(x-y)}}\cdot {\frac {x+y}{2x}}={\frac {6xy\cdot {\color {Red}(x+y)}}{{\color {Red}(x+y)}(x-y)\cdot 2x}}={\frac {{\color {Red}2x}\cdot 3y}{(x-y)\cdot {\color {Red}2x}}}={\frac {3y}{x-y}}$

Divisão

A divisão ocorre da mesma forma de uma fração fracionária.

${\frac {x^{2}-4}{x+2xy}}/{\frac {x^{2}+2x}{2y+1}}={\frac {x^{2}-4}{x+2xy}}\cdot {\frac {2y+1}{x^{2}+2x}}={\frac {{\color {Red}(x+2)}(x-2)\cdot {\color {Red}(1+2y)}}{x{\color {Red}(1+2y)}\cdot x{\color {Red}(x+2)}}}={\frac {x-2}{x^{2}}}$