Fórmula de Landau-Zener
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A fórmula de Landau–Zener é uma expressão matemática para a probabilidade de transição entre dois níveis de energia numa situação de cruzamento evitado. Corresponde a uma solução analítica das equações de movimento que regem a dinâmica de um sistema mecânico quântico de 2-níveis de energia, com um hamiltoniano dependente do tempo variando de tal forma que a separação de energia dos dois estados (diabáticos) é uma função linear do tempo, e o acoplamento entre esses dois estados é constante. A fórmula foi publicada separadamente por Lev Landau,[1] Clarence Zener,[2] Ernst Stueckelberg,[3] and Ettore Majorana,[4] em 1932.
Fórmula de Landau-Zener
[editar | editar código-fonte]A fórmula de Landau-Zener tem tido um papel central na descrição de efeitos não-adiabáticos (envolvendo mais do que um estado electrónico) em colisões atómicas e moleculares [5] em particular, e efeitos não-adiabáticos na química e física molecular em geral.[6] Neste contexto, considera-se que o sistema se move com uma velocidade constante v e que a variação ao longo da coordenada z dos níveis de energia do sistema é uma hipérbole. A probabilidade de um sistema que começa num dos níveis de energia terminar no outro nível de energia depois de atravessar o centro da hipérbole em zc, em que o intervalo que separa os dois níveis de energia é menor, é dada pela fórmula de Landau-Zener
,
em que ΔV é a diferença energética dos dois níveis no ponto zc, ΔF é a diferença do declive das assimptotas da hipérbole e h é a constante de Planck.
A fórmula de Landau-Zener fornece resultados razoáveis quando a energia cinética do sistema é elevada, mas sobretudo é um modelo paradigmático para racionalizar efeitos não-adiabáticos.[7]
Fórmula de Stueckelberg
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Numa colisão atómica ou molecular, o sistema atravessa por duas vezes a região zc em que a energia dos dois níveis se aproxima. A probabilidade de um sistema que se encontra num determinado nível de energia antes da colisão e terminar num outro após a colisão, foi determinada por Stueckelberg [3]
,
em que pLZ é a probabilidade de transição numa passagem dada pela fórmula da Landau-Zener, Φ é a diferença de fases acumulada pela função de onda do sistema entre as duas passagens por zc, e φ é uma fase dinâmica que tende para φ=π/4 no limite de velocidades elevadas.[7]
Notas
[editar | editar código-fonte]- Zener [2] afirmou que a equação publicada por Landau [1] continha um erro de 2π no expoente, no entanto tal desentendimento é compreensível pelo facto de Landau ter utilizado o símbolo h com o significato de ħ.[8]
- Enquanto os outros autores derivaram a fórmula no contexto de colisões atómicas ou moleculares, Majorana estudava o comportamento de átomos em campos magnéticos variáveis.[4][8]
- Recentemente, uma dedução alternativa da fórmula de Landau-Zener foi proposta por Wittig.[9]
Referências
- ↑ a b L. D. Landau (1932). «Zur Theorie der Energieübertragung. II». Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. 2: 46–51 Tradução para ingês disponível em D. ter Haar, ed. (1965). Collected papers of L. D. Landau. [S.l.]: Pergamon Press. ISBN 0677205503 ou D. ter Haar (1969). Men of Physics: L. D. Landau II. [S.l.]: Pergamon Press. ISBN 0080064515
- ↑ a b C. Zener (1932). «Non-adiabatic Crossing of Energy Levels». Proceedings of the Royal Society of London A. 137 (6): 696–702. Bibcode:1932RSPSA.137..696Z. JSTOR 19320901. doi:10.1098/rspa.1932.0165
- ↑ a b E. C. G. Stueckelberg (1932). «Theorie der unelastischen Stösse zwischen Atomen». Helvetica Physica Acta. 5: 369-422. doi:10.5169/seals-110177
- ↑ a b E. Majorana (1932). «Atomi orientati in campo magnetico variabile». Nuovo Cimento. 9 (2): 43–50. doi:10.1007/BF02960953
- ↑ Child, Mark (1996). Molecular Collision Theory. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 0486694372
- ↑ Y. Kayanuma (2007). «Landau-Zener formula revived in nano physics». Applied and Computational Mathematics. 6 (2): 143–161. ISSN 1683-3511
- ↑ a b E. E. Nikitin (1999). «Nonadiabatic Transitions: What We Learned from Old Masters and How Much We Owe Them». Annual Review of Physical Chemistry. 50: 1–21. doi:10.1146/annurev.physchem.50.1.1
- ↑ a b F. Di Giacomo, E. E. Nikitin (2005). «The Majorana formula and the Landau - Zener - Stückelberg treatment of the avoided crossing problem». Physics-Uspekhi. 45: 515–517. doi:10.1070/PU2005v048n05ABEH002804
- ↑ C. Wittig (2005). «The Landau-Zener Formula». Journal of Physical Chemistry B. 109 (17): 8428–8430. doi:10.1021/jp040627u