Grupo ordenado

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Em matemática, um grupo ordenado é um grupo (G,*) com uma relação de ordem, de forma que a operação binária é compatível com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de ordem total, temos um grupo totalmente ordenado, caso seja uma relação de ordem parcial, temos um grupo parcialmente ordenado.

Elementos positivos[editar | editar código-fonte]

Nota-se que, das propriedades, se e é o elemento neutro do grupo, então implica que e . Por outro lado, se e , então e, por transitividade, . Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja H um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

Então a relação definida por é uma relação de ordem (parcial) que torna G um grupo ordenado.

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