Ideal principal

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Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal principal é um ideal que é gerado por um elemento.1

No caso mais geral de um anel não-comutativo R, temos:

  • um ideal principal à esquerda é um ideal R a = { r a | r \in R } \,
  • um ideal principal à direita é um ideal a R = { a r | r \in R } \,
  • um ideal principal bilateral é um ideal I = { e_1 a d_1 + e_2 a d_2 + \ldots + e_n a d_n | e_1, d_1, e_2, d_2, \ldots, e_n, d_n \in R } \,

No caso comutativo, um ideal principal é um conjunto da forma a R = { a r | r \in R }\,

Em \mathbb{Z}\,, é fácil mostrar que todo ideal é um ideal principal, porém esta propriedade não é válida em geral. Um contra-exemplo simples é o ideal gerado por {2, x} no domínio de integridade \mathbb{Z}[x]\,, dos polinômios de coeficientes inteiros.

Referências

  1. Rings, no site do Department of Mathematical Sciences da Northern Illinois University, baseado no texto de Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed., © 1996
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