Localmente (topologia)

A expressão localmente, em topologia, é usada para se referir a uma propriedade que vale para todo ponto, em uma região suficientemente próxima.^[1]

Mais precisamente, seja X um espaço topológico, então este espaço tem determinada propriedade localmente quando, para todo ponto $p\in X\,$ e toda vizinhança aberta U de p, $p\in U\subseteq X\,$ , existe uma vizinhança V ^{[Nota 1]} de p, $p\in V\subseteq U\,$ , em que esta propriedade vale.^[1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Um espaço é localmente conexo por arcos em um ponto x quando toda vizinhança U de x contém uma vizinhança V tal que, para todo par de pontos em V, existe um arco contido em V ^{[Nota 2]} ligando estes dois pontos. Um espaço é localmente conexo por arcos se ele é localmente conexo por arcos em todos seus pontos.^[2]

Um espaço T1 é localmente compacto quando todo ponto p tem uma vizinhança V cujo fecho é compacto.^[3]

Um sistema de coordenadas ^{[Nota 3]} é cartesiano quando ds² ^{[Nota 4]} é representado por uma forma com coeficientes constantes. Nem sempre é possível encontrar estas coordenadas, porém, para todo ponto p é possível encontrar um sistema de coordenadas que se comporta desta forma em uma vizinhança de p. Este sistema é chamado de localmente cartesiano ou localmente geodésico.^[4]

Notas e referências

Notas

↑ No texto de Gamelin e Greene, a vizinhança V deve ser aberta, mas esta restrição não é necessária em geral.
↑ O texto de Lefschetz traz como o arco contido em U; não está errado mas não é a melhor forma de apresentar a propriedade.
↑ Definidos sobre uma variedade de Riemann.
↑ ds² é a fórmula que representa a distância entre dois pontos "próximos", por exemplo, na superfície de uma esfera, usando coordenadas esféricas, $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi ^{2}\,$ .

Referências

↑ ^a ^b Theodore W. Gamelin, Robert Everist Greene, Introduction to Topology: Second Edition, 7. Locally compact spaces, p.83 [google books]
↑ Solomon Lefschetz, Topics in Topology (1942), IV. Local connectedness and related topics, (1.4) Definition, p.76 [google books]
↑ Garrett Birkhoff, Lattice Theory, Volume 25, Parte 2 (1940), p.223 [google books]
↑ Tullio Levi-Civita, The Absolute Differential Calculus (calculus of Tensors) (1926), Part II, The Fundamental Quadratic Form and the Absolute Differential Calculus, Chapter VI, Covariant differentiation; invariants and differential parameters; locally geodesic co-ordinates, 11. Locally geodesic (or locally Cartesian) co-ordinates, p.164 [google books]

[2] No texto de Gamelin e Greene, a vizinhança V deve ser aberta, mas esta restrição não é necessária em geral.

[3] O texto de Lefschetz traz como o arco contido em U; não está errado mas não é a melhor forma de apresentar a propriedade.

[6] Definidos sobre uma variedade de Riemann.

[7] ds² é a fórmula que representa a distância entre dois pontos "próximos", por exemplo, na superfície de uma esfera, usando coordenadas esféricas, $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi ^{2}\,$ .

[gamelin.greene.p83-1] Theodore W. Gamelin, Robert Everist Greene, Introduction to Topology: Second Edition, 7. Locally compact spaces, p.83 [google books]

[lefschetz.p.76-4] Solomon Lefschetz, Topics in Topology (1942), IV. Local connectedness and related topics, (1.4) Definition, p.76 [google books]

[birkhoff.p.223-5] Garrett Birkhoff, Lattice Theory, Volume 25, Parte 2 (1940), p.223 [google books]

[levi-civita.p.164-8] Tullio Levi-Civita, The Absolute Differential Calculus (calculus of Tensors) (1926), Part II, The Fundamental Quadratic Form and the Absolute Differential Calculus, Chapter VI, Covariant differentiation; invariants and differential parameters; locally geodesic co-ordinates, 11. Locally geodesic (or locally Cartesian) co-ordinates, p.164 [google books]

[1]

[Nota 1]

[Nota 2]

[2]

[3]

[Nota 3]

[Nota 4]

[4]