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Modus tollens

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Modus tollens (Latim: modo que nega por negação)[1] ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

É um argumento comum, simples:

Se , então .
é falso.
Logo, é falso.

ou em notação de lógica:

,
¬
¬

onde representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

(" é um subconjunto de . não pertence a . Logo, não pertence a .")


Na forma de conjuntos podemos exemplificar da seguinte forma:

Digamos que existe um conjunto de alimentos que ngordam.

Nesse conjunto existe: astel, rigadeiro e erveja.

Todos que comem Pastel (), então Engordam (). ( ),

Não Engordei. (¬ )

Logo não comi Pastel ( ¬ )

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que implica . A segunda premissa é que é falso. Dessas duas premissas pode-se concluir logicamente que tem de ser falso. (Por que? Se fosse verdadeiro, então seria verdadeiro pela premissa 1, mas não é pela premissa 2).

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.
Não há oxigênio aqui.
Então aqui não há fogo.

Na lógica matemática

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A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.[2]

A contraposição diz-nos que é equivalente a , então com a regra modus ponens inferimos que .

Essa regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).[3]

Tabela de verdade

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A tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) demonstra a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q) = 1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q = 0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

 p   q  p ⇒ q (p ⇒ q)=1∧(q=0)
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1

Por hipótese, só interessam os casos em que q = 0 e (p ⇒ q) = 1, assim só a última linha é verdadeira.

Conclui-se que p = q = 0 em particular p = 0, ou o que é o mesmo (¬p) = 1.

Referências

  1. Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language (em inglês). Londres: Routledge. p. 60. ISBN 0-415-91775-1. Consultado em 13 de julho de 2017 
  2. Bajnok, Bela (2013). An Invitation to Abstract Mathematics] (em inglês). [S.l.]: Springer. p. 182. Consultado em 13 de julho de 2017 
  3. Bell, Jordan. «Modus Tollens» (em inglês). MathWorld. Consultado em 13 de julho de 2017