Modus tollens

Modus tollens (Latim: modo que nega por negação) ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

Descrição

É um argumento comum, simples:

Se P, então Q.

Q é falso.

Logo, P é falso.

ou em notação de lógica:

$p\rightarrow q$,

¬ $q\quad$

$\vdash$ ¬ $p.\quad$

onde $\vdash$ representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

$P\subseteq Q$

$x\not \in Q$

∴$x\not \in P$

("P é um subconjunto de Q. x não pertence a Q. Logo, x não pertence a P.")

Na forma de conjuntos podemos exemplificar da seguinte forma:

Digamos que um existe um conjunto de alimentos que Engordam.

Nesse Conjunto existem Pastel, Brigadeiro e Cerveja. $E=\{P,B,C\}$

Todos que comem Pastel (P), então Engordam (E). ( $P\rightarrow E$),

Não Engordei. (¬ $E\quad$)

Logo não comi Pastel ( $\vdash$ ¬ $P\quad$)

Exemplos

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que P implica Q. A segunda premissa é que Q é falso. Destas duas premissas pode ser logicamente concluido que P tem de ser falso. (Por quê? Se P fosse verdadeiro, então Q seria verdadeiro pela premissa 1, mas não é pela premissa 2)

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.

Não há oxigênio aqui.

Então aqui não há fogo.

Na lógica matemática

A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.

A contraposição diz-nos que $p\to q$é equivalente a $\lnot q\to \lnot p$, então com a regra modus ponens inferimos que ${\frac {\lnot q\to \lnot p,\lnot q}{\lnot p}}$.

Essa regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).

Tabela de verdade

Uma tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) explica facilmente a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q)=1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q=0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q)=1∧(q=0)
1	1	1	0
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Por hipótese, só interessam os casos em que q=0 e (p ⇒ q)=1, assim só a última linha dá verdadeiro.

Conclui-se que p = q = 0 em particular p=0, ou o que é o mesmo (¬p)=1.

Ver também

• Modus ponens
• Implicação
• Falseabilidade
• Falácia