Modus tollens
Modus tollens (Latim: modo que nega por negação)[1] ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.
Descrição[editar | editar código-fonte]
É um argumento comum, simples:
- Se P, então Q.
- Q é falso.
- Logo, P é falso.
ou em notação de lógica:
- ,
- ¬
- ¬
onde representa a asserção lógica.
ou em forma da teoria dos conjuntos:
- ∴
("P é um subconjunto de Q. x não pertence a Q. Logo, x não pertence a P.")
Na forma de conjuntos podemos exemplificar da seguinte forma:
Digamos que um existe um conjunto de alimentos que Engordam.
Nesse Conjunto existem Pastel, Brigadeiro e Cerveja.
Todos que comem Pastel (P), então Engordam (E). ( ),
Não Engordei. (¬ )
Logo não comi Pastel ( ¬ )
Exemplos[editar | editar código-fonte]
O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que P implica Q. A segunda premissa é que Q é falso. Destas duas premissas pode ser logicamente concluido que P tem de ser falso. (Por quê? Se P fosse verdadeiro, então Q seria verdadeiro pela premissa 1, mas não é pela premissa 2)
Considere dois exemplos:
- Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.
- Não há oxigênio aqui.
- Então aqui não há fogo.
Na lógica matemática[editar | editar código-fonte]
A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.[2]
A contraposição diz-nos que é equivalente a , então com a regra modus ponens inferimos que .
Essa regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).[3]
Tabela de verdade[editar | editar código-fonte]
Uma tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) explica facilmente a regra modus tollens em lógica binária.
Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:
- (p ⇒ q)=1
por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:
- q=0
Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:
p | q | p ⇒ q | (p ⇒ q)=1∧(q=0) |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 |
Por hipótese, só interessam os casos em que q=0 e (p ⇒ q)=1, assim só a última linha dá verdadeiro.
Conclui-se que p = q = 0 em particular p=0, ou o que é o mesmo (¬p)=1.
Referências
- ↑ Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language (em inglês). Londres: Routledge. p. 60. ISBN 0-415-91775-1. Consultado em 13 de julho de 2017
- ↑ Bajnok, Bela (2013). An Invitation to Abstract Mathematics] (em inglês). [S.l.]: Springer. p. 182. Consultado em 13 de julho de 2017
- ↑ Bell, Jordan. «Modus Tollens» (em inglês). MathWorld. Consultado em 13 de julho de 2017