Modus tollens

Modus tollens (Latim: modo que nega) ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

Descrição

É um argumento comum, simples:

Se P, então Q.

Q é falso.

Logo, P é falso.

ou em notação de lógica:

$p\rightarrow q$$p\rightarrow q$,

¬ $q\quad$$q\quad$

$\vdash$$\vdash$ ¬ $p.\quad$$p.\quad$

onde $\vdash$$\vdash$ representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

$P\subseteq Q$$P\subseteq Q$

$x\not \in Q$$x\not \in Q$

∴$x\not \in P$$x\not \in P$

("P é um subconjunto de Q. x não pertence a Q. Logo, x não pertence a P.")

Exemplos

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que P implica Q. A segunda premissa é que Q é falso. Destas duas premissas pode ser logicamente concluido que P tem de ser falso. (Por quê? Porque se P fosse verdadeiro, então Q seria verdadeiro, pela premissa 1, mas não é, pela premissa 2)

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.

Não há oxigênio aqui.

Então aqui não há fogo.

Se eu piso em uma casca de banana, eu caio.

Eu não caí.

Então não pisei em uma casca de banana

Se 1+b=3, então b=2

b≠2

Então 1+b≠3

Na lógica matemática

A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.

A contraposição diz-nos que

$p\to q$$p\to q$ é equivalente a $\lnot q\to \lnot p$$\lnot q\to \lnot p$

então a regra modus ponens permite inferir

${\frac {\lnot q\to \lnot p,\lnot q}{\lnot p}}$${\frac {\lnot q\to \lnot p,\lnot q}{\lnot p}}$

Esta regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).

Tabela de verdade

Uma tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) explica facilmente a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q)=1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q=0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q)=1∧(q=0)
1	1	1	0
1	0	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

Por hipótese, só interessam os casos em que q=0 e (p ⇒ q)=1. Assim, só a última linha dá verdadeiro.

Conclui-se que p = q = 0, em particular p=0, ou o que é o mesmo (¬p)=1.

Ver também

• Modus ponens
• Implicação
• Falseabilidade
• Falácia