Modus tollens

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa

Modus tollens (Latim: modo que nega por negação)[1] ou negação do consequente, é o nome formal para a prova indireta, também chamado de modo apagógico.

Descrição[editar | editar código-fonte]

É um argumento comum, simples:

Se P, então Q.
Q é falso.
Logo, P é falso.

ou em notação de lógica:

,
¬
¬

onde representa a asserção lógica.

ou em forma da teoria dos conjuntos:

("P é um subconjunto de Q. x não pertence a Q. Logo, x não pertence a P.")

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente que P implica Q. A segunda premissa é que Q é falso. Destas duas premissas pode ser logicamente concluido que P tem de ser falso. (Por quê? Porque se P fosse verdadeiro, então Q seria verdadeiro, pela premissa 1, mas não é, pela premissa 2)

Considere dois exemplos:

Se existe fogo aqui, então aqui também há oxigênio.
Não há oxigênio aqui.
Então aqui não há fogo.

Na lógica matemática[editar | editar código-fonte]

A regra modus tollens pode ser vista como uma aplicação da regra modus ponens por contraposição.[2]

A contraposição diz-nos que

é equivalente a

então a regra modus ponens permite inferir

Esta regra está assim ligada a demonstrações por contraposição, ou ainda a demonstrações por contradição (reductio ad absurdum).[3]

Tabela de verdade[editar | editar código-fonte]

Uma tabela de verdade da implicação numa lógica binária (em que 1 = Verdade, 0 = Falso) explica facilmente a regra modus tollens em lógica binária.

Afirmar p ⇒ q significa que é verdade, ou seja:

(p ⇒ q)=1

por outro lado, afirmar ¬ q significa que q é falso, ou seja:

q=0

Portanto, basta olhar para a tabela da implicação:

 p   q  p ⇒ q (p ⇒ q)=1∧(q=0)
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1

Por hipótese, só interessam os casos em que q=0 e (p ⇒ q)=1. Assim, só a última linha dá verdadeiro.

Conclui-se que p = q = 0, em particular p=0, ou o que é o mesmo (¬p)=1.

Referências

  1. Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language (em inglês). Londres: Routledge. p. 60. ISBN 0-415-91775-1. Consultado em 13 de julho de 2017 
  2. Bajnok, Bela (2013). An Invitation to Abstract Mathematics] (em inglês). [S.l.]: Springer. p. 182. Consultado em 13 de julho de 2017 
  3. Bell, Jordan. «Modus Tollens» (em inglês). MathWorld. Consultado em 13 de julho de 2017 

Ver também[editar | editar código-fonte]