Momento de inércia de área

Conceito

É a integral do produto dos elementos de área de uma figura plana pelo quadrado de suas distâncias a um eixo.

$J=\int \int y^{2}.dA$

Normalmente aparece nas tabelas de seções em $mm^{4}\;$ ou $cm^{4}\;$.

Por depender do quadrado das distâncias ao eixo é um valor sempre positivo, e depende da distância e da direção do eixo em relação à figura. A fórmula lembra o momento de inércia de massa, mas aqui o significado físico é bem diferente como mostrado a seguir.

Aplicação

O momento de inércia de área da seção transversal de uma viga, em relação a um eixo que passe pelo seu centro de gravidade, mede a sua rigidez, ou seja a sua resistência à flexão em relação a esse eixo.

Por exemplo, aplicando a fórmula acima para uma seção retangular de lados $a\$ e $b\$, com o eixo passando pelo seu centro, e paralelo ao lado $a\$ temos:

$J=\int _{-a \over 2}^{a \over 2}(\int _{-b \over 2}^{b \over 2}y^{2}.dy)dx$ $={a.b^{3} \over 12}$

Aumentar o lado $b\$ da seção da viga, devido ao expoente cúbico, resulta num aumento bem maior de $J\$ comparado com aumentar o lado $a\$. Dobrar uma tábua em relação à sua espessura é fácil, mas não em relação à sua largura.

A deformação elástica deve ser proporcional à tensão aplicada e vice-versa. Quando uma viga é fletida, aumenta seu comprimento no lado convexo, enquando diminui o de seu lado côncavo. Proporcionalmente a essas alterações, existem tensões de tração onde o comprimento aumenta e de compressão onde ele diminui. Uma fibra situada no centro da viga permanece com o mesmo comprimento, portanto não há tensão nessa região. À medida que aumenta a distância em relação ao centro, também aumenta a diferença entre o comprimento original (o mesmo da região central) e o atual, sob carga. O esforço de dobramento chama-se momento fletor ($M\$). Para determinar as tensões usa-se o momento de inércia de área:

$\sigma ={M.r \over J}$

Para $r\$ em milímetros, o momento de inércia em $mm^{4}\$, e o momento fletor em $kgf.mm\$, a tensão será calculada em ${kgf \over mm^{2}\ }$.

A tensão é máxima na fibra mais afastada do centro, onde $r\$, a distância ao centro também é máxima. Será um valor positivo (tração) no lado convexo e negativo (compressão) no lado côncavo. A tensão de tração particularmente é crítica, pois deve estar abaixo do limite de resistência do material para evitar seu rompimento. Percebe-se pela fórmula que a chave para diminuir as tensões nas vigas é aumentar seu momento de inércia. percebeis pouco do assunto...