Polinômios de Hermite

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Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Os cinco primeiros polinômios de Hermite (probabilísticos).

Definição[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

.

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Ortogonalidade[editar | editar código-fonte]

Hn(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

(probabilidade)

ou

(física)

ou seja,

ou

(física)

onde δij é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando n = m e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísiticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradora[editar | editar código-fonte]

Fórmulas de recorrência[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

Decomposição numa série de funções[editar | editar código-fonte]

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

Onde as constantes são dadas por:

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

Equação diferencial de Hermite[editar | editar código-fonte]

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:[1]

Que na forma canônica pode ser escrita como:

Referência[editar | editar código-fonte]

  1. Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, : . Fórmulas y tablas de matemática aplicada [S.l.: s.n.] ISBN 84-7615-197-7.  Parâmetro desconhecido |ubicación= ignorado (|local=) (Ajuda);