Quicksort
O algoritmo quicksort é um método de ordenação muito rápido e eficiente, inventado por C.A.R. Hoare em 1960[1], quando visitou a Universidade de Moscovo como estudante. Naquela época, Hoare trabalhou em um projeto de tradução de máquina para o National Physical Laboratory. Ele criou o quicksort ao tentar traduzir um dicionário de inglês para russo, ordenando as palavras, tendo como objetivo reduzir o problema original em subproblemas que possam ser resolvidos mais fácil e rápido. Foi publicado em 1962 após uma série de refinamentos.[2]
O quicksort é um algoritmo de ordenação por comparação não-estável.
O algoritmo computacional
[editar | editar código-fonte]O quicksort adota a estratégia de divisão e conquista. A estratégia consiste em rearranjar as chaves de modo que as chaves "menores" precedam as chaves "maiores". Em seguida o quicksort ordena as duas sublistas de chaves menores e maiores recursivamente até que a lista completa se encontre ordenada. [3]Os passos são:
- Escolha um elemento da lista, denominado pivô;
- Particiona: rearranje a lista de forma que todos os elementos anteriores ao pivô sejam menores que ele, e todos os elementos posteriores ao pivô sejam maiores que ele. Ao fim do processo o pivô estará em sua posição final e haverá duas sub listas não ordenadas. Essa operação é denominada partição;
- Recursivamente ordene a sub lista dos elementos menores e a sub lista dos elementos maiores;
O caso base da recursão são as listas de tamanho zero ou um, que estão sempre ordenadas. O processo é finito, pois a cada iteração pelo menos um elemento é posto em sua posição final e não será mais manipulado na iteração seguinte.
A escolha do pivô e os passos do Particiona podem ser feitos de diferentes formas e a escolha de uma implementação específica afeta fortemente a performance do algoritmo.
Método de partição de Lomuto
[editar | editar código-fonte]Método atribuído a Nico Lomuto e popularizado por Bentley em seu livro Programming Pearls[4] e por Cormen et al. no livro Introduction to Algorithms. Este método escolhe um pivô tipicamente no início ou no final do array. O Particiona recebe como parâmetro dois índices do array, lo e hi, que será a parte do array a ser particionada, então escolhe-se um índice i e percorre-se o array usando outro índice j realizando trocas, quando necessário, a fim de que todos os elementos menores ou iguais ao pivô fiquem antes do índice i e os elementos i + 1 até hi, ou j - 1, sejam maiores que o pivô . Esta é a maneira mais simples e fácil de entender, geralmente utilizada como uma introdução ao quicksort, entretanto é menos eficiente que o método Hoare. Este Método decai para O(n2) quando o array já está ordenado ou quando só possui elementos iguais. Existem várias formas para melhorar a eficiência do algoritmo através da escolha do pivô, lidar com elementos iguais, usar outros algoritmos para pequenos arrays como o Insertion sort e assim por diante.
Complexidade
[editar | editar código-fonte]Comportamento no pior caso
[editar | editar código-fonte]O pior caso de particionamento ocorre quando o elemento pivô divide a lista de forma desbalanceada, ou seja, divide a lista em duas sub listas: uma com tamanho 0 e outra com tamanho n - 1 (no qual n se refere ao tamanho da lista original). Isso pode ocorrer quando o elemento pivô é o maior ou menor elemento da lista, ou seja, quando a lista já está ordenada, ou inversamente ordenada.
Se isso acontece em todas as chamadas do método de particionamento, então cada etapa recursiva chamará listas de tamanho igual à lista anterior - 1. Teremos assim, a seguinte relação de recorrência:
Se somarmos os custos em cada nível de recursão, teremos uma série aritmética que tem valor , assim, o algoritmo terá tempo de execução igual à .
Comportamento no melhor caso
[editar | editar código-fonte]O melhor caso de particionamento acontece quando ele produz duas listas de tamanho não maior que n/2, uma vez que uma lista terá tamanho [n/2] e outra tamanho [n/2] - 1. Nesse caso, o quicksort é executado com maior rapidez. A relação de recorrência é a seguinte:
que, a partir do teorema mestre, terá solução .
- Complexidade de espaço: no melhor caso e no caso médio e no pior caso. R. Sedgewick desenvolveu uma versão do quicksort com partição recursão de cauda que tem complexidade no pior caso.
Quicksort utilizando dois ou mais pivôs
[editar | editar código-fonte]Dentre inúmeras tentativas de melhorar a eficiência do quicksort clássico, em 2009 foi proposto por Yaroslavskiy (2009) o Dual-Pivot Quicksort[5] , onde são utilizados 2 pivôs, particionando um array de entrada em 3 partes. Yaroslavskiy demonstra que o uso de dois pivôs é mais eficaz, especialmente quando possui uma quantidade maior de dados de entrada, comprovando a sua vantagem em relação ao algoritmo quicksort clássico.
O algoritmo Dual-Pivot Quicksort, particiona um array de entrada de dados de diferentes dados primitivos (tais como, int, char, double float e long) em três partes, utilizando dois pivôs P1 e P2. Desse modo, estabelecem os seguintes ponteiros, L, K, G e left e right(índices para o primeiro e último elementos).
Segue abaixo a descrição do algoritmo.
- Para pequenos vetores (tamanho < 17) utilizar o algoritmo Insertion Sort.
- Escolha dois pivôs (P1 e P2), podemos escolher por exemplo, o primeiro (a[left]) elemento como P1 e o último como P2.
- P1 deve ser menor do que o P2, caso contrário, eles são trocados. Então, existem as seguintes partes:
- Parte I: com índices elemento mais a esquerda, de left até L-1 contendo os elementos que são menores que o P1.
- Parte II: com índices de L até K-1 contendo os elementos maiores ou iguais a P1 e menores ou iguais a P2.
- Parte III: Com índices de G + 1 até o último elemento a direita, contendo os elementos superiores P2.
- Parte IV: contendo os elementos a ser examinados com índices de K até G
- O próximo elemento na posição K pertencente a parte IV é comparado com os pivôs P1 e P2, e alocado na parte correspondente, I, II ou III.
- Os ponteiros L, K e G são alterados nas direções correspondentes.
- Os passos 4 e 5 são repetidos enquanto G se aproxima de K.
- O pivô P1 é trocado com o último elemento da parte I, o pivô P2 é trocado com o primeiro elemento da parte III.
- As etapas 1 e 7 são repetidas de forma recursiva para cada parte I, II e III.
Também foi demonstrado por Yaroslavskiy[5] que para ordenação de dados primitivos é mais eficiente a utilização do quicksort de 3 partições, sendo o número médio de comparações do Dual-Pivot Quicksort é , e o número médio de trocas é , enquanto a versão clássica do algoritmo Quicksort possui e , respectivamente.
Uma experimento realizado pelo Budiman, Zamzami e Rachmawati (2017)[6], foi proposto, implementado e realizado experimentos com os algoritmos quicksort clássico e quicksort com dois, três, quatro e cinco pivôs. Analisando os resultados experimentais notou-se que o quicksort com um único pivô é o mais lento entre as cinco. Em segundo lugar, analisando o uso de até 5 pivôs foi comprovado que quanto mais pivôs são utilizados em um algoritmo quicksort, mais rápido seu desempenho se torna. Em terceiro lugar, o aumento de velocidade resultante da adição de mais pivôs tende a diminuir gradualmente.
Comparação com outros algoritmos de ordenação
[editar | editar código-fonte]O quicksort é uma versão optimizada de uma árvore binária ordenada. Em vez de introduzir itens sequencialmente numa árvore explicita, o quicksort organiza-os correntemente na árvore onde está implícito, fazendo-o com chamadas recursivas à mesma. O algoritmo faz exactamente as mesmas comparações, mas com uma ordem diferente.
O algoritmo que mais se familiariza com o quicksort é o Heapsort. Para o pior caso neste algoritmo temos Mas, o Heapsort em média trata-se de um algoritmo mais lento que o quicksort, embora essa afirmação já tenha sido muito debatida. No quicksort permanece o caso do pior caso, à exceção quando se trata de usar a variante Intro sort, que muda para Heapsort quando um pior caso é detectado. Caso se saiba à partida que será necessário o uso do heapsort é aconselhável usá-lo directamente, do que usar o introsort e depois chamar o heapsort, torna mais rápido o algoritmo.
O quicksort também compete com o Mergesort, outro algoritmo de ordenação recursiva, tendo este o benefício de ter como pior caso Mergesort, ao contrário do quicksort e do Heapsort, é estável e pode facilmente ser adaptado para operar em listas encadeadas e em listas bastante grandes alojadas num tipo de acesso lento a média como um Network-Attached Storage ou num disco. Embora o quicksort possa ser operado em listas encadeadas, por vezes escolhendo um mau pivô sem acesso aleatório. A maior desvantagem do Mergesort é que quando opera em arrays, requer de espaço para o melhor caso, considerando que o quicksort com um particionamento espacial e com recursão utiliza apenas de espaço.
Bucket sort com dois buckets é muito parecido ao quicksort (quase idêntico), o pivô neste caso é garantidamente o valor do meio do vector.
Implementações
[editar | editar código-fonte]Em pseudocódigo, o quicksort ordena elementos do índice até de um array A pode ser escrito da seguinte forma:
procedimento QuickSort(X[], IniVet, FimVet) var i, j, pivo, aux início i <- IniVet j <- FimVet pivo <- X[(IniVet + FimVet) div 2] enquanto(i <= j) | enquanto (X[i] < pivo) faça | | i <- i + 1 | fimEnquanto | enquanto (X[j] > pivo) faça | | j <- j - 1 | fimEnquanto | se (i <= j) então | | aux <- X[i] | | X[i] <- X[j] | | X[j] <- aux | | i <- i + 1 | | j <- j - 1 | fimSe fimEnquanto se (IniVet < j) então | QuickSort(X, IniVet, j) fimSe se (i < FimVet) então | QuickSort(X, i, FimVet) fimSe fimProcedimento
ou de outra maneira, como:
algorithm quicksort(A, lo, hi) is
if lo < hi then
p := particiona(A, lo, hi)
quicksort(A, lo, p – 1)
quicksort(A, p + 1, hi)
algorithm particiona(A, lo, hi) is
pivot := A[hi]
i := lo - 1
for j := lo to hi - 1 do
if A[j] < pivot then
i := i + 1
swap A[i] with A[j]
if pivot < A[i + 1] then
swap A[i + 1] with A[hi]
return i + 1
Uma versão do algoritmo na linguagem Python 3 poderia ser escrito da seguinte forma:
def quick_sort(a, ini=0, fim=None):
fim = fim if fim is not None else len(a)
if ini < fim:
pp = particao(a, ini, fim)
quick_sort(a, ini, pp)
quick_sort(a, pp + 1, fim)
return a
def particao(a, ini, fim):
# para uma versão com partição aleatória
# descomente as próximas três linhas:
# from random import randrange
# rand = randrange(ini, fim)
# a[rand], a[fim - 1] = a[fim - 1], a[rand]
pivo = a[fim - 1]
for i in range(ini, fim):
if a[i] <= pivo:
a[i], a[ini] = a[ini], a[i]
ini += 1
return ini - 1
a = [8, 5, 12, 55, 3, 7, 82, 44, 35, 25, 41, 29, 17]
print(a)
print(quick_sort(a))
Uma versão em C++ do primeiro pseudocódigo é expressa da seguinte maneira:
#include <iostream>
void quicksort(int values[], int began, int end)
{
int i, j, pivo, aux;
i = began;
j = end-1;
pivo = values[(began + end) / 2];
while(i <= j)
{
while(values[i] < pivo && i < end)
{
i++;
}
while(values[j] > pivo && j > began)
{
j--;
}
if(i <= j)
{
aux = values[i];
values[i] = values[j];
values[j] = aux;
i++;
j--;
}
}
if(j > began)
quicksort(values, began, j+1);
if(i < end)
quicksort(values, i, end);
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int array[10] = {5, 8, 1, 2, 7, 3, 6, 9, 4, 10};
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
std::cout << array[i] << ' ';
}
std::cout << std::endl;
quicksort(array, 0, 10);
for(int i = 0; i < 10; i++)
{
std::cout << array[i] << ' ';
}
return 0;
}
Tendo os valores como saída respectivamente, desorganizados e organizados através da função quicksort;
5 8 1 2 7 3 6 9 4 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Há também uma implementação padrão deste algorítimo melhor detalhada no seguinte endereço função qsort
Uma versão do algoritmo em Haskell poderia ser escrito da seguinte forma:
quicksort :: (Ord a) => [a] -> [a]
quicksort [] = []
quicksort (x:xs) =
let smallerSorted = quicksort [a | a <- xs, a <= x]
biggerSorted = quicksort [a | a <- xs, a > x]
in smallerSorted ++ [x] ++ biggerSorted
Partindo de uma lista inicial [10,2,5,3,1,6,7,4,2,3,4,8,9], teremos:
ghci> quicksort [10,2,5,3,1,6,7,4,2,3,4,8,9]
[1,2,2,3,3,4,4,5,6,7,8,9,10]
// ifirst_part: index of first element of partition
// ilast_part: index of last element of partition
fn partition<T>(mut array_to_sort []T, ifirst_part int, ilast_part int, compare fn (a T, b T) bool) int {
pivot := array_to_sort[ilast_part]
mut i := ifirst_part - 1
for j in ifirst_part..ilast_part {
if compare(array_to_sort[j], pivot) {
i++
//if i != j {
array_to_sort[i], array_to_sort[j] = array_to_sort[j], array_to_sort[i]
/*tmp := array_to_sort[i]
array_to_sort[i] = array_to_sort[j]
array_to_sort[j] = tmp*/
//}
}
}
array_to_sort[i + 1], array_to_sort[ilast_part] = array_to_sort[ilast_part], array_to_sort[i + 1]
/*tmp := array_to_sort[i + 1]
array_to_sort[i + 1] = array_to_sort[ilast_part]
array_to_sort[ilast_part] = tmp*/
return i + 1
}
// ifirst: index of first
// ilast: index of last
fn quick_sort_helper<T>(mut array_to_sort []T, ifirst int, ilast int, compare fn (a T, b T) bool) {
if ifirst < ilast {
partition_index := partition<T>(mut array_to_sort, ifirst, ilast, compare)
quick_sort_helper<T>(mut array_to_sort, ifirst, partition_index - 1, compare)
quick_sort_helper<T>(mut array_to_sort, partition_index + 1, ilast, compare)
}
}
fn quick_sort<T>(mut array_to_sort []T, compare fn (a T, b T) bool) {
quick_sort_helper<T>(mut array_to_sort, 0, array_to_sort.len - 1, compare)
}
fn quick_sort_clone<T>(array_to_sort []T, compare fn (a T, b T) bool) []T {
mut array_to_sort_clone := array_to_sort.clone()
quick_sort_helper<T>(mut array_to_sort_clone, 0, array_to_sort_clone.len - 1, compare)
return array_to_sort_clone
}
Referências
- ↑ AZEREDO, Paulo A. (1996). Métodos de Classificação de Dados e Análise de suas Complexidades. Rio de Janeiro: Campus. ISBN 85-352-0004-5
- ↑ «An Interview with C.A.R. Hoare». Communications of the ACM, March 2009 ("premium content")
- ↑ BAASE, Sara (1988). Computer Algorithms. Introduction to Design and Analysis (em inglês) 2ª ed. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 53 páginas. ISBN 0-201-06035-3
- ↑ Jon Bentley (1999). Programming Pearls. Addison-Wesley Professional.
- ↑ a b YAROSLAVSKIY, V. Dual-pivot quicksort. Research Disclosure, 2009.[1]
- ↑ BUDIMAN, M.; ZAMZAMI, E.; RACHMAWATI, D. Multi-pivot quicksort: an experiment with single, dual, triple, quad, and penta-pivot quicksort algorithms in python. In: IOP PUBLISHING.IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. [S.l.], 2017. v. 180, n. 1, p.012051.
- ↑ «Recursão - Aprender Haskell será um grande bem para você!». haskell.tailorfontela.com.br. Consultado em 12 de agosto de 2020
Ver também
[editar | editar código-fonte]Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Rápida aula de quicksort
- Sorting algorithms/Quicksort - Implementação do algoritmo em várias linguagens de programação
- QuickDualPivot.java - Algoritmo Dual Pivot Quicksort disponibilizado pelo autor