Quocientes de determinantes

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A interpolação polinomial que utiliza os quocientes de determinantes foi desenvolvida pelo engenheiro mecânico brasileiro Marcello José Quintieri Pinheiro (Nova Friburgo, 8 de março de 1965) em 2003 a partir da fórmula clássica de interpolação de Lagrange. Os coeficientes polinomiais como quocientes de determinantes podem também ser obtidos utilizando-se a Regra de Cramer. Os quocientes de determinantes permitem calcular todos os coeficientes de um polinômio de grau n1 definido pelos pontos (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn). O desenvolvimento foi registrado sob o número 294206 no EDA da Fundação Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro em 30 de julho de 2003 [1].

A fórmula de interpolação de Lagrange desenvolvida pelo matemático Joseph Louis Lagrange (Turin, 25 de janeiro de 1736 - Paris, 10 de abril de 1813) é:

A fórmula de interpolação de Lagrange pode ser escrita como o somatório do produto entre a razão de determinantes e a variável independente xi, como segue:

onde são os coeficientes de um polinômio de grau n1 definido pelos n pontos (x1,y1), (x2,y2), . . . , (xn,yn). O índice i é um número inteiro do intervalo Ai e Vn são matrizes, sendo Vn a matriz de Vandermonde de ordem

Considerando dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), tem-se:

que é a função do 1o grau ou função afim onde a0 é o coeficiente linear da reta e a1 é o coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente linear determina o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) e o coeficiente angular é determinado pela tangente do ângulo definido entre o eixo das abscissas (eixo x) e a reta no sentido anti-horário em relação ao primeiro quadrante.

Considerando três pontos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3), tem-se:

que é a função do 2o grau ou função quadrática

Se então os pontos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares.

Considerando quatro pontos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) e (x4,y4), tem-se:

que é a função do 3o grau ou função cúbica

Se os pontos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), . . . , (xn,yn) são colineares, então

e

tal que

Referências

  1. Pinheiro, M. J. Q., "Funções polinomiais com coeficientes de razões de determinantes". Registro de propriedade intelectual no 294206 de 30 de julho de 2003. Escritório de Direitos Autorais da Fundação Biblioteca Nacional, 2003.