Representação de uma álgebra

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Em matemática, uma representação de uma álgebra é um módulo sobre a álgebra ou, equivalentemente, um homomorfismo de álgebras entre a álgebra e o anel de endomorfismos de um espaço vetorial. [1]

Definições[editar | editar código-fonte]

Dado um homomorfismo de álgebras , a notação abreviada para é para módulos à esquerda e para módulos à direita. Então, pode-se escrever um tipo de lei associativa: para módulos à esquerda, e para módulos à direita.

Uma subrepresentação de uma representação de uma álgebra é um subespaço o qual é invariante sobre todos os operadores .

Sejam duas representações sobre um álgebra . Um homomorfismo (ou operador intertwining) é um operador linear o qual comuta com a ação de , isto é, . Um homomorfismo é dito ser um isomorfismo de representações se for um isomorfismo entre espaços vetoriais.

Proposições[editar | editar código-fonte]

Lema de Schur
Sejam representações irredutíveis de uma álgebra sobre um corpo qualquer . Seja um homomorfismo entre representações não identicamente nulo. Então é um isomorfismo.
Lema de Schur para corpos algebricamente fechados
Seja uma representação irredutível de dimensão finita de uma álgebra sobre um corpo algebricamente fechado , e é um operador interwinning. Então (o operador escalar).

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p. 279-280.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Hazewinkel, M.; Gubareni, N.M. and Kirichenko, V.V. (2004). Algebras, rings and modules Kluwer Academic Publishers [S.l.] ISBN 9781402026904.