Série dupla

Em análise matemática, uma série dupla é uma série cujo índice pertence a $\mathbb {N} ^{2}$, isto é, dois números naturais.

Notação

Denotamos a soma parcial por $S_{m,n}$ definida como

$$S_{m,n}=\sum _{i=1,j=1}^{m,n}a_{ij}.$$

Quando existe um número S tal que para todo $\varepsilon >0$, existe $\lambda$ tal que $\left\vert S_{m,n}-S\right\vert <\varepsilon$ se $m,n>\lambda$, dizemos que $S$ é a série dupla de $S_{m,n}$.

Também é possível expressar essa ideia pelo limite duplo ${\underset {(m,n)}{\lim }}S_{m,n}=S$. Devemos, contudo, atentar para o fato de que não é imediato o fato de que $S_{m,n}\rightarrow S$, já que esse limite duplo pode não existir.

A série dupla é então denotad como

$$S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty ,\infty }a_{ij}.$$

Aliás, como $a_{m,n}=S_{m,n}-S_{m-1,n}-S_{m,n-1}+S_{m-1,n-1}$, segue que, se $\{S_{m,n}\}$ converge, é possível encontrar $\delta$ tal que $\left\vert a_{m,n}\right\vert <\varepsilon$ se $m,n>\delta$, o que não implica $a_{m,n}\rightarrow 0$ se $m$ e $n$ tendem a $\infty$ separadamente. Para mais informações, veja os exemplos que serão apresentados na próxima seção.

Convergência de uma série dupla

A condição geral da convergência de uma Série Dupla é, tomando a sequência de somas parciais, o critério de Cauchy para sequências duplas, ou seja, uma série dupla converge se e somente se $\exists \lambda :\left\vert S_{p,q}-S_{m,n}\right\vert <\varepsilon$, quando $p>m>\lambda$ e $q>n>\lambda$.

DEMONSTRAÇÃO

$(\Rightarrow )$ Imediata. $(\Leftarrow )$ Seja $S_{n}$ o valor de $S_{m,n}$ quando $m=n$, de modo que o retângulo usado para a soma se torne um quadrado. Podemos tomar a subsequência $\{S_{n}\}$ e, segundo o critério de Cauchy para sequências simples, temos $\left\vert S_{q}-S_{n}\right\vert <\varepsilon$ quando $q>n>\lambda$ . Como $S_{n}$ se aproxima de um limite $S$, podemos encontrar $\lambda _{1}$ tal que $\left\vert S-S_{n}\right\vert <\varepsilon$ se $n>\lambda _{1}$. A condição geral nos leva, então, a $\left\vert S_{p,q}-S_{n}\right\vert <\varepsilon$, se $p,q>n>\lambda _{2}$. Sendo, ainda $\lambda _{3}=\max\{\lambda _{1},\lambda _{2}\}$, segue $\left\vert S_{p,q}-S\right\vert <\varepsilon$ se $p,q>n>\lambda _{3}$. Ou seja, a série dupla converge.

EXEMPLOS

Convergência: $S_{m,n}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}$

Divergência: $S_{m,n}=m+n$

Oscilação: $S_{m,n}=(-1)^{m+n}$

Troca dos operadores de somatório

Somas por Linha e por Coluna

As somas de uma série dupla podem ser definidas pela soma dos elementos dentro de retângulos $m\times n$, conforme mencionado anteriormente, mas também pode ser definida por Séries Iteradas correspondentes ao somatório das somas das linhas e das colunas, como segue.

Soma por linhas: Tome primeiro a soma dos elementos das linhas de uma série, denotada por $b_{m}={\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}a_{m,n}$ e, então, proceda com o somatório das somas das linhas, ou seja ${\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}b_{m}$. Ou seja, a Soma por linhas é dada por ${\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}a_{m,n}={\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}$

De modo análogo,

Soma por colunas: dada por ${\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}a_{m,n}={\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}.$

Se lidamos com um número finito de termos, é evidente que

$S_{M,N}={\overset {M}{\underset {m=1}{\sum }}}{\overset {N}{\underset {n=1}{\sum }}}a_{m,n}={\overset {N}{\underset {n=1}{\sum }}}{\overset {M}{\underset {m=1}{\sum }}}a_{m,n}$

O mesmo não é necessariamente verdade se lidamos com um número infinito de termos, ou seja, não é necessariamente verdade que

$S={\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}a_{m,n}={\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}a_{m,n}$

e isso se dá pelo fato de que os limites iterados não necessariamente são iguais, o que implica, no caso das séries, a oscilação da soma por linhas ou colunas.

EXEMPLO

Seja $S_{m,n}=(-1)^{m+n}({\dfrac {1}{m}}+{\dfrac {1}{n}}).$

Oras, $S$ existe e é dado por $S=0$.

Mas $\nexists {\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}S_{m,n}$ e $\nexists {\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}S_{m,n}$.

Teorema de Pringsheim

Um teorema que dá conta dos casos em que é possível proceder com a troca dos operadores de limites no infinito em Séries Duplas é o teorema de Pringsheim, que dita que:

Se as somas linha e coluna de uma série convergem e a série dupla também converge, então a expressão $S={\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}a_{m,n}={\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}a_{m,n}$ é válida.

DEMONSTRAÇÃO
Temos que $\left\vert S_{m,n}-S\right\vert <\varepsilon$ se $m,n>\lambda$, de modo que $\left\vert {\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}S_{m}-S\right\vert \leq \varepsilon$. Oras, por hipótese o limite simples existe. Segue, então, que ${\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}=S$. A outra metade é análoga.

Observações

(1) Quando a série dupla não converge, então $(\ast )$ ${\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}a_{m,n}={\overset {\infty }{\underset {n=1}{\sum }}}{\overset {\infty }{\underset {m=1}{\sum }}}a_{m,n}$ não é necessariamente válido.

EXEMPLO

Seja $S_{m,n}={\frac {m}{m+n}}$, temos ${\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}=0$ e ${\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}=1$. Do teorema de Pringsheim, a série obviamente não converge.

(2) A verdade de $(\ast )$ também não implica, por si só, na convergência da série dupla.

EXEMPLO

Seja $S_{m,n}={\frac {mn}{(m+n)^{2}}}$

Temos ${\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}=0={\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }}{\underset {m\rightarrow \infty }{\lim }}a_{m,n}$, mas a série dupla não converge. Para verificar isso, basta ver que se tomarmos $m$ e $n$ tendendo de formas diferentes ao infinito, a soma leva a números diferentes. Por exemplo, tome $m=2n$, $S_{m,n}={\frac {2}{9}}$ e se $m=n$, $S_{m,n}={\frac {1}{4}}$.