Semigrupo regular

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Na matemática, mais especificamente em álgebra, um semigrupo regular é um semigrupo S em que todo elemento é regular, isto é, para cada elemento a, existe (pelo menos) um elemento x tal que axa = a.1 Os semigrupos regulares formam uma das classes mais estudadas de semigrupos e sua estrutura é particularmente favorável ao estudo por meio das relações de Green.2

Origens[editar | editar código-fonte]

Os semigrupos regulares foram introduzidos por J. A. Green em seu artigo influente de 1951 "On the structure of semigroups"; este também foi o artigo em que as relações de Green foram introduzidas. O conceito de regularidade em um semigrupo foi adaptado de uma condição análoga para anéis, que já havia sido considerada por J. von Neumann.3 Foi o estudo dos semigrupos regulares que levou Green a definir as célebres relações que hoje levam seu nome. De acordo com uma nota de rodapé em Green 1951, a sugestão de aplicar a regularidade aos semigrupos foi feita primeiramente por David Rees.

O básico[editar | editar código-fonte]

Há duas formas equivalentes de definir um semigrupo regular S:

  1. Para cada a em S, existe algum elemento x de S, que é chamado de um pseudo-inverso4 , tal que axa = a;
  2. Todo elemento a tem pelo menos um inverso b, no sentido de que aba = a e bab = b.

Para ver a equivalência destas definições, suponha primeiramente que S é definido da segunda maneira. Então b desempenha o papel do x que é exigido na primeira definição. Reciprocamente, se S é definido da primeira forma, então xax é um inverso para a, pois a(xax)a = axa(xa) = axa = a e (xax)a(xax) = x(axa)(xax) = x(axa)x = xax.5

O conjunto de inversos (no sentido acima) de um elemento a em um semigrupo arbitrário S é denotado por V(a).6 Então, outra forma de expressar a segunda definição é dizer que em um semigrupo regular S, V(a) é não vazio para todo elemento a de S. O produto de um elemento a com qualquer bem V(a) é sempre um idempotente: abab = ab, uma vez que aba = a.7

Um semigrupo regular em que os idempotentes comutam é um semigrupo inverso, isto é, todo elemento possui um único inverso. Para ver isso, seja S um semigrupo regular em que todos os idempotentes comutam. Então todo elemento de S tem pelo menos um inverso. Suponha que b e c sejam inversos de a em S, isto é,

aba = a, bab = b, aca = a e cac = c. Além disso ab, ba, ac e ca são idempotentes como acima.

Então

b = bab = b(aca)b = bac(a)b =bac(aca)b = bac(ac)(ab) = bac(ab)(ac) = ba(ca)bac = ca(ba)bac = c(aba)bac = cabac = cac = c.

Então, comutando os idempotentes ab e ac e também os idempotentes ba e ca, mostra-se que o inverso de a é único. Reciprocamente, pode-se demonstrar que qualquer semigrupo inverso é um semigrupo regular em que os idempotentes comutam.8

A existência de um único pseudo inverso implica na existência de um único inverso, mas o contrário não é verdadeiro. Por exemplo, no semigrupo inverso simétrico, a transformação vazia não tem um único pseudo inverso, pois Ø = ØfØ para qualquer aplicação f. No entanto, o inverso de Ø é único, pois apenas uma f satisfaz a restrição adicional de que f = ØfØ, a saber f = Ø. Esta observação vale em geral em qualquer semigrupo com zero. Além disso, se qualquer elemento possui um único pseudoinverso, então o semigrupo é um grupo, e o único pseudo inverso de um elemento coincide com o inverso da definição de grupo9

Teorema. Toda imagem homomórfica de um semigrupo regular é regular.10

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Howie 1995 : 54.
  2. Howie 2002.
  3. von Neumann 1936.
  4. Klip, Knauer e Mikhalev : p. 33
  5. Clifford e Preston 1961 : Lemma 1.14.
  6. Howie 1995 : p. 52.
  7. Clifford e Preston 1961 : p. 26.
  8. Howie 1995 : Theorem 5.1.1.
  9. Demonstração: http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6391
  10. Howie 1995 : Lema 2.4.4.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • A. H. Clifford and G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, Mathematical Surveys of the American Mathematical Society, No. 7, Providence, R.I., 1961.
  • J. M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, Oxford, 1995.
  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
  • J. A. Green. (1951). "On the structure of semigroups". Annals of Mathematics (2) 54 (1): 163–172. Annals of Mathematics. DOI:10.2307/1969317.
  • J. M. Howie, Semigroups, past, present and future, Proceedings of the International Conference on Algebra and Its Applications, 2002, 6–20.
  • J. von Neumann. (1936). "On regular rings". Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 22 (12): 707–713. DOI:10.1073/pnas.22.12.707. PMID 16577757.