Soma direta

O conceito de soma direta é recorrente em álgebra, se aplicando a diversas estruturas algébricas, como grupos, anéis e espaços vetoriais. A soma direta é o que, em teoria das categorias, é conhecido por coproduto de estruturas algébricas.

Soma direta de grupos abelianos

Dada uma família ${\mathcal {F}}=\{G_{i}\}_{i\in I}$ de grupos abelianos, definimos a soma direta de ${\mathcal {F}}$, denotada por $\oplus _{i\in I}G_{i}$, como sendo o grupo cujos elementos são $I$-uplas $(x_{i})_{i\in I}$ cujas entradas são todas nulas, a menos um de um subconjunto finito de índices em $I$, e cuja soma entre $(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in \oplus _{i\in I}S_{i}$ é $(x_{i}+y_{i})_{i\in I}$. Utilizamos aqui a notação aditiva de grupos.

Soma direta de dois grupos

Ver artigo principal: Grupo livre

A soma direta de dois grupos G e H é (pela definição de coproduto) o grupo mais genérico contendo subgrupos isomórficos a G e a H, e em que cada elemento é o produto (finito) de elementos destes subgrupos.

Identificando G e H com os subgrupos da soma direta, temos, por exemplo, que se x for um elemento de G e y um elemento de H, x²y¹⁰x^-1yx^-3 será um elemento da soma direta.

De modo geral, qualquer elemento da soma direta é uma expressão da forma:

$g_{1}^{k_{1}}h_{2}^{k_{2}}g_{3}^{k_{3}}\ldots h_{n}^{k_{n}}\,$

em que os gs pertencem ao subgrupo isomórfico a G, os hs ao subgrupo isomórfico a H. Esta representação não é única, pois alguns g e h podem ser o elemento neutro da soma direta. Trocando em miúdos, uma soma direta é uma soma na qual dois espaços vetoriais se juntam para fazer outro, por isso a intersecção dos dois subespaços só pode ser o vetor nulo.