A divergência está ai. Em 1937 a Cia.Norte nem tinha a intenção de criar a cidade e muito menos dar um nome a ela. Em meados de 1950 foi criado o Apucarana Atletico Clube, depois o Apucarana FC, mas esses não tem ligação nenhuma com o Apucarana Sports. Como vc citou agora, ele surgiu de uma fusão do CIncão(de Londrina) com o Roma(Apucarana), ou seja, teve suas origens como Cincão em Londrina e em 2014 feita a fusão, portanto, 1937 não é o ano de fundação.
Realmente no site da Federação Paranaense está o erro. Não sei se vou conseguir, mas vou entrar em contato com eles para esclarecer isso(erro da federação).
Caso conseguir e eles corrijam o site, respondo a vocês aqui no tópico novamente com a correção.
Se for pra seguir essa lógica, então podemos mudar a data de descobrimento do Brasil para 1492 , já que nesse ano, os europeus que não cairam de paraquedas e nem de asa delta no território, dividiram o mesmo através do Tratado de Tordesilhas.