Teorema de Lax–Milgram

Em matemática, o Teorema de Lax-Milgram é um resultado de análise funcional com aplicação na teoria de equações à derivadas parciais. Esse teorema demonstra sob certas condições a existência e unicidade de uma solução fraca de um problema de valor de contorno.

Seu nome é uma homenagem aos matemáticos Peter Lax e Arthur Milgram.

Enunciado

Sejam :

• ${\mathcal {H}}$ um espaço de Hilbert munido de seu produdo escalar notado $\langle .,.\rangle$, da norma associada notada $\|.\|$
• $a(.\,,\,.)$ uma forma bilinear (ou uma forma sesquilinear se ${\mathcal {H}}$ é complexo) que é
  • contínua em ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ : $\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$
  • coerciva em ${\mathcal {H}}$ : $\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$
• $L(.)$ uma forma linear contínua em ${\mathcal {H}}$.

Sob essas hipóteses, existe um único $u$ de ${\mathcal {H}}$ tal que a equação $a(u,v)=L(v)$ se verifica para todo $v$ de ${\mathcal {H}}$ :

$(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=L(v)$

Se ainda a forma bilinear $a$ é simétrica, então $u$ é o único elemento de ${\mathcal {H}}$ que minimiza o funcional $J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ definido por $J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)$ para todo $v$ de ${\mathcal {H}}$, ou seja :

$(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)$

Referências

• Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Col: Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. xiv+278. ISBN 0-8218-0500-2  MR1422252 (chapter III)