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Seja
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
espaço topológico e
{\displaystyle ~}
relação de equivalência em
X
{\displaystyle X}
conjunto quociente
X
/
∼
{\displaystyle X/\sim }
classes de equivalência de elementos de X. Para cada
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
[
x
]
{\displaystyle [x]}
x
{\displaystyle x}
Dada
π
:
X
→
X
/
∼
{\displaystyle \pi :X\to X/\sim }
x
↦
[
x
]
{\displaystyle x\mapsto [x]}
X
/
∼
{\displaystyle X/\sim }
π
{\displaystyle \pi }
τ
∼
=
{
U
∈
X
/
∼:
π
−
1
(
U
)
∈
τ
}
{\displaystyle \tau _{\sim }=\{U\in X/\sim :\pi ^{-1}(U)\in \tau \}}
O espaço quociente é o par
(
X
/
∼
,
τ
∼
)
{\displaystyle (X/\sim ,\tau _{\sim })}
O quociente de
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\!}
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
|
x
−
y
|
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle |x-y|\in \{0,1\}}
homeomorfo a
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}
O quociente de
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\times [0,1]\!}
(
x
,
0
)
∼
(
x
,
1
)
{\displaystyle (x,0)\sim (x,1)\,\!}
(
0
,
y
)
∼
(
1
,
y
)
{\displaystyle (0,y)\sim (1,y)\,\!}
x
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x,y\in [0,1]}
toro
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
S
1
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
O processo acima, que cola as bordas do quadrado de forma direta, pode ser feito de modo a torcer o quadrado. Assim, a relação de equivalência gerada por
(
x
,
0
)
∼
(
1
−
x
,
1
)
{\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\,\!}
(
0
,
y
)
∼
(
1
,
1
−
y
)
{\displaystyle (0,y)\sim (1,1-y)\,\!}
x
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x,y\in [0,1]}
plano projectivo , enquanto que a relação de equivalência gerada por
(
x
,
0
)
∼
(
1
−
x
,
1
)
{\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\,\!}
(
0
,
y
)
∼
(
1
,
y
)
{\displaystyle (0,y)\sim (1,y)\,\!}
x
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x,y\in [0,1]}
garrafa de Klein .
![{\displaystyle [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
![{\displaystyle x\mapsto [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07b95c49afdb5a84f26120657148e94c94a69be)
![{\displaystyle [0,1]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5116730870d0fd0c0eceac6edac4d27b6d3cc98d)
![{\displaystyle [0,1]\times [0,1]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed469fd237c195c5a3035c1ca6899ae87040f70)
![{\displaystyle x,y\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89411f493700e4c95ef285820b357955faf5ba7)
