Usuário:Lechatjaune/Método de Gauss-Seidel

O método de Gauss-Seidel é muito parecido na como o método de Jacobi devido ser um processo interativo e que para convergir precisa ser estritamente diagonal dominante.

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O processo interativo de Gauss-Seidel pode ser escrito como:

${\vec {X}}_{k+1}=(I-L)U{\vec {X}}_{k}+(I-L)^{-1}D^{-1}{\vec {b}}$

sendo:

${\begin{matrix}L=-D^{-1}A_{L}\\U=-D^{-1}A_{U}\end{matrix}}$

onde $A_{L}$ é a matrix triangular inferior, $A_{U}$ é a matriz triangular superior, $D$ matriz diagonal

Dedução

Partindo do problema inicial

$A{\vec {X}}={\vec {b}}$

Reescrevemos $A$ como a soma de uma matriz Diagonal de $A$ com suas respectivas matrizes diagonais Inferior e Superior

$(A_{L}+D+A_{U}){\vec {X}}={\vec {b}}$

multiplicando os dois lados por $D^{-1}$

$D^{-1}(A_{L}+D+A_{U}){\vec {X}}={\vec {b}}D^{-1}$

$D^{-1}A_{L}{\vec {X}}+\underbrace {D^{-1}D} _{I}{\vec {X}}+D^{-1}A_{U}{\vec {X}}={\vec {b}}D^{-1}$

$(D^{-1}A_{L}+I){\vec {X}}=-D^{-1}A_{U}{\vec {X}}+{\vec {b}}D^{-1}$

como queremos chegar em um processo interativo de ordem 1 como ${\vec {X}}_{k+1}=G{X}_{k}+{\vec {f}}$ fazemos

$(D^{-1}A_{L}+I){\vec {X}}_{k+1}=-D^{-1}A_{U}{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}$

$D^{-1}A_{L}{\vec {X}}_{k+1}+{\vec {X}}_{k+1}=-D^{-1}A_{U}{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}$

trocando

${\begin{matrix}L=-D^{-1}A_{L}\\U=-D^{-1}A_{U}\end{matrix}}$

temos

$-L{\vec {X}}_{k+1}+{\vec {X}}_{k+1}=U{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}$

$(-L+I){\vec {X}}_{k+1}=U{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}$

${\vec {X}}_{k+1}=(I-L)^{-1}U{\vec {X}}_{k}+(I-L)^{-1}D^{-1}{\vec {b}}$

Se um processo interativo de ordem 1 da forma ${\vec {X}}_{k+1}=G{X}_{k}+{\vec {f}}$ temos então para o método de Gauss-Seidel:

$G=(I-L)^{-1}U$

${\vec {f}}=(I-L)^{-1}D^{-1}{\vec {b}}$

Convergência

Para o método de Gauss-Seidel convergir é necessário que a matriz $A$ seja estritamente diagonal dominante ou também se respeitar o critério de Sassenfeld que diz: Calculando $S_{1},S_{2},S_{3},...,S_{n},$ tal que

$S_{i}={\frac {\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\left\|a_{ij}\right\|}{\left\|a_{ii}\right\|}}$

se $S_{i}<1,\qquad \forall 1\leq i\leq n$ então o critério de Sassenfeld é respeitado.

Referências Bibliográficas

Álvaro Luiz de Bortoli ; Carolina Cardoso; Maria Paula Gonçalves Fachin; Rudnei Diasda Cunnha; "Introdução ao Calculo Numérico" 2a. Ediçao