O método de Gauss-Seidel é muito parecido na como o método de Jacobi devido ser um processo interativo e que para convergir precisa ser estritamente diagonal dominante.
O processo interativo de Gauss-Seidel pode ser escrito como:
![{\displaystyle {\vec {X}}_{k+1}=(I-L)U{\vec {X}}_{k}+(I-L)^{-1}D^{-1}{\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bba1cc5fb5db15881b787e6201d56920322ebf)
sendo:
![{\displaystyle {\begin{matrix}L=-D^{-1}A_{L}\\U=-D^{-1}A_{U}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7aefb6c7c6e49b2ea7a92ad2e7307ba2a371fb)
onde
é a matrix triangular inferior,
é a matriz triangular superior,
matriz diagonal
Partindo do problema inicial
![{\displaystyle A{\vec {X}}={\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85c6c06519617e99f51041096fefefeaf362023)
Reescrevemos
como a soma de uma matriz Diagonal de
com suas respectivas matrizes diagonais Inferior e Superior
![{\displaystyle (A_{L}+D+A_{U}){\vec {X}}={\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a37116e7bed659a206c6ed5a5b5f1ab3f31c83)
multiplicando os dois lados por
![{\displaystyle D^{-1}(A_{L}+D+A_{U}){\vec {X}}={\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ab75083a95d4ac69aced03d0232781b6d36f32)
![{\displaystyle D^{-1}A_{L}{\vec {X}}+\underbrace {D^{-1}D} _{I}{\vec {X}}+D^{-1}A_{U}{\vec {X}}={\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b07726c8d5f58fa11f6a3a6b6c4a7da58663cc)
![{\displaystyle (D^{-1}A_{L}+I){\vec {X}}=-D^{-1}A_{U}{\vec {X}}+{\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cfeb31d75308c5ddad5ccde300a2ee48320d78)
como queremos chegar em um processo interativo de ordem 1 como
fazemos
![{\displaystyle (D^{-1}A_{L}+I){\vec {X}}_{k+1}=-D^{-1}A_{U}{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f5f3ac8130a18f30bbbcfdb074cf0b4867a4af)
![{\displaystyle D^{-1}A_{L}{\vec {X}}_{k+1}+{\vec {X}}_{k+1}=-D^{-1}A_{U}{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3602affbba69cf9a8421efdeaa1c45499d044de0)
trocando
![{\displaystyle {\begin{matrix}L=-D^{-1}A_{L}\\U=-D^{-1}A_{U}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7aefb6c7c6e49b2ea7a92ad2e7307ba2a371fb)
temos
![{\displaystyle -L{\vec {X}}_{k+1}+{\vec {X}}_{k+1}=U{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47f5df7e7d1db0b0060a568d1f91ec0a75a9bb9)
![{\displaystyle (-L+I){\vec {X}}_{k+1}=U{\vec {X}}_{k}+{\vec {b}}D^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c655ac1b31ef787f8ee998340c1cd4788fcc7f)
![{\displaystyle {\vec {X}}_{k+1}=(I-L)^{-1}U{\vec {X}}_{k}+(I-L)^{-1}D^{-1}{\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e66c0221bec471d3668eb6c4a298d57f6793d2)
Se um processo interativo de ordem 1 da forma
temos então para o método de Gauss-Seidel:
![{\displaystyle G=(I-L)^{-1}U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719b814d34e92ff78904731a7537c7e96e4f4701)
![{\displaystyle {\vec {f}}=(I-L)^{-1}D^{-1}{\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb9ce7a84ddd6162a0787fb196736298fe54e69)
Para o método de Gauss-Seidel convergir é necessário que a matriz
seja estritamente diagonal dominante ou também se respeitar o critério de Sassenfeld que diz:
Calculando
tal que
![{\displaystyle S_{i}={\frac {\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\left\|a_{ij}\right\|}{\left\|a_{ii}\right\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4868baaf63f39227da1e70252656a92ef9aa131)
se
então o critério de Sassenfeld é respeitado.
Álvaro Luiz de Bortoli ; Carolina Cardoso; Maria Paula Gonçalves Fachin; Rudnei Diasda Cunnha; "Introdução ao Calculo Numérico" 2a. Ediçao