Usuário(a):Felipe Silva Carvalho/Testes

A transformação de Lorentz deduzida até então supõe um movimento relativo na direção do eixo-x, mas esta forma pode ser generalizada para um movimento em qualquer direção. Supondo que os referenciais se movam com uma velocidade em direção arbitrária v, então qualquer vetor r₁ pode ser decomposto em suas componentes perpendicular e ortogonal ao vetor v.

O vetor r₁ forma um ângulo θ com o vetor v. Portanto temos que:

$\mathbf {r} _{\parallel \mathbf {v} }=|\mathbf {r} |\cos \theta {\hat {\mathbf {v} }}=|\mathbf {r} |\cos \theta {\frac {\mathbf {v} }{v}}=|\mathbf {r} ||{\frac {\mathbf {v} }{v}}|\cos \theta {\frac {\mathbf {v} }{v}}=|\mathbf {r} ||\mathbf {v} |\cos \theta {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}=\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}$

Temos também que

$\mathbf {r} _{\perp \mathbf {v} }=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\parallel \mathbf {v} }=\mathbf {r} -\langle \mathbf {r} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}$

Então, para um vetor em um referencial 1:

$\mathbf {r_{1}} =\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}-[\mathbf {r_{1}} -\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}]$

No entanto a componente perpendicular não sofre alterações frente à transformação de Lorentz e a componente perpendicular à velocidade o é. Então, de modo análogo ao feito para o movimento relativo na direção do eixo-x, temos:

$\mathbf {r_{2}} =[\mathbf {r_{1}} -\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}]+a[\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}-\mathbf {v} t_{1}]$

$ct_{2}=a[ct_{1}-\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}\cdot {\frac {\mathbf {v} }{c}}]$

Ou ainda, reorganizando,

$\mathbf {r_{2}} =\mathbf {r_{1}} +(a-1)\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle {\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}-a\mathbf {v} t_{1}$

$ct_{2}=a[ct_{1}-{\frac {\langle \mathbf {r_{1}} ,\mathbf {v} \rangle }{c}}]$