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O Esquema de Horner (também chamado de algoritmo de Horner ou método de Horner) é um algoritmo que permite:

• Calcular o quociente e o resto de uma divisão entre dois polinômios quaisquer;
• Calcular a série de Taylor de um polinômio em torno de um ponto;
• Deflação de um polinômio.

Historia

O algoritmo possui esse nome devido ao trabalho A new method of solving numerical equations of all orders" do matemático inglês Willian George Horner publicado em 1819 na "Philosophical Transactions of the Royal Society". Porém, o método já era conhecido por:

• Paolo Ruffini em 1809;
• Issac Newton em 1969;
• Zhu Shijie (Matemático chinês) no século XIV;
• Qin Jiushao (Matemático chinês) no século XIII;
• Sharaf al-Dīn al-Tūsī (matemático persa) no século XII;
• Jian Xian (Matemático chinês) no século XI;

Demonstração

O método de Horner consiste reescrever um dado polinômio de forma a obter uma aproximação para um ponto específico. Assim, dado:

$p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots +a_{n}x^{n},$

em que $a_{0},\ldots ,a_{n}$ são os coeficientes do polinômio e números reais.Podemos estar interessados em calcular seu valor para $x_{0}$.Primeiramente observe que ele pode ser escrito na forma de parênteses encaixados(ou concatenados):

$p(x)=a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+\cdots +x(a_{n-1}+a_{n}x)\cdots )).\,$

Segundo o método deve-se definir b_n da seguinte forma:

${\begin{aligned}b_{n}&:=a_{n}\\b_{n-1}&:=a_{n-1}+b_{n}x_{0}\\&{}\ \ \vdots \\b_{0}&:=a_{0}+b_{1}x_{0}.\end{aligned}}$

Então b₀ é o valor de p(x₀).

Assim, substituindo iterativamente $b_{i}$ na expressão,

${\begin{aligned}p(x_{0})&=a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+\cdots x_{0}(a_{n-1}+b_{n}x_{0})\cdots ))\\&=a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+\cdots x_{0}(b_{n-1})\dots ))\\&{}\ \ \vdots \\&=a_{0}+x_{0}(b_{1})\\&=b_{0}.\end{aligned}}$

Por exemplo, para $p(x)$ um polinômio completo de quarto grau. E procurando seu valor para $x_{0}$ Temos:

$p(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}$

Com b_n do tipo:

${\begin{aligned}b_{4}&:=a_{4}\\b_{3}&:=a_{3}+b_{4}x_{0}\\b_{2}&:=a_{2}+b_{3}x_{0}\\b_{1}&:=a_{1}+b_{2}x_{0}\\b_{0}&:=a_{0}+b_{1}x_{0}\\\end{aligned}}$

Substituindo:

$p(x_{0})=a_{0}x_{0}^{0}+a_{1}x_{0}^{1}+a_{2}x_{0}^{2}+a_{3}x_{0}^{3}+a_{4}x_{0}^{4}=$
$a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+x_{0}(a_{3}+x_{0}(a_{4})$
$a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+x_{0}(a_{3}+x_{0}(b_{4})$
$a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(a_{2}+x_{0}(b_{3})$
$a_{0}+x_{0}(a_{1}+x_{0}(b_{2})$
$a_{0}+x_{0}(b_{1})$
$b_{0}$