Usuário:Lechatjaune/Método das diferenças finitas

Muitas vezes dispomos de um conjunto de pontos, e precisamos, por algum motivo, da informação que a derivada destes pontos pode nos fornecer, como em muitos casos de pesquisa tecnológica e de laboratórios. O Método das Diferenças Finitas é uma maneira de obter a derivada de um conjunto de pontos sem conhecer a função que passa por esses pontos, apenas utilizando Série de Taylor. Esse método pode ser separado de 3 maneiras diferentes:

• Diferenças Progressivas;
• Diferenças Regressivas;
• Diferenças Centrais.

Um pouco de história

Newton em 1689

Diferenças foram popularizadas e usadas por Isaac Newton no século XVII, mas essas técnicas também foram usadas anteriormente por Thomas Harriot (1561-1621) e Henry Briggs (1561-1631). Enquanto Harriot realizou avanços significativos em técnicas de navegação, Briggs foi o responsável pela aceitação dos logaritmos como auxílio nos cálculos.

Expansão em Série de Taylor

Aproximação da derivada

A expansão em série de Taylor de uma função $f(x+h)$ pode ser expressa da seguinte forma:

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+(h^{2})/2f''(x)+o(h^{3})\,$

E a derivada f'(x) num ponto x, é:

$\lim _{x\to 0}f'(x0)={\frac {f(x0+h)-f(x0)}{h}}$

E se $h$ for suficientemente pequeno e diferente de zero(para evitar cancelamento catastrófico), podemos aproximar a derivada no ponto $x0$ por:

$f'(x0)={\frac {f(x0+h)-f(x0)}{h}}$

Diferenças Progressivas

Se queremos derivar uma função entre dois pontos $x0$ e $x1$, então $x0+h=x1$, a aproximação da derivada fica:

$f'(x0)={\frac {f(x1)-f(x0)}{h}}={\frac {y1-y0}{h}}$

Se $h$ for maior do que 0, essa fórmula é conhecida como diferenças progressivas.

0BS.:Em tempo, cabe observar que $h$ é exatamente a diferença entre os dois pontos onde queremos aproximar a derivada.

Diferenças Regressivas

Do mesmo modo que aproximamos a derivada podemos aproximar, de maneira semelhante, e $x0-h=x2$,temos:

$f'(x0)={\frac {f(x0)-f(x2)}{h}}={\frac {yi-y(i-1)}{h}}$

Se $h$ for menor do que 0, essa fórmula é conhecida como diferenças regressivas

Diferenças Centrais

Essa é outra aproximação para derivadas, utilizando um ponto central, entre os quais queremos aproximar a derivada:

$f'(x0)={\frac {f(x1)-f(x2)}{2h}}={\frac {y(i+1)-y(i-1)}{h}}$

Comparação dos Métodos: Um exemplo

Suponha, agora, que o nosso objetivo é aproximar a derivada de $f(x)=sen(x)$, para $x=1$. Observe na tabela abaixo o que acontece quando diminuímos o intervalo entre os pontos que vamos aproximar a derivada, ou seja, o $h$:

h	Valor Exato	Progressivas	Regressivas	Centrais
0.1	0,5403023	0,4973638	0.5814408	0.5394023
0.01	0,5403023	0,5360860	0,5445006	0.540293

Fica fácil de ver que se diminuímos o intervalo, a aproximação fica mais próxima do valor exato, isso se deve ao menor erro tanto de truncamento, como de arredondamento associados ao cálculo numérico.

Erro de Truncamento

O erro de truncamento $\xi _{1}(x0,h)\,$ associado ao problema, se dá da seguinte forma:

$f(x0+h)=f(x0)+hf'(x0)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(\zeta ),~~\zeta \in (x0,x0+h)\,$

de outra forma:

${\frac {f(x0+h)-f(x0)}{h}}=f'(x0)+{\frac {h}{2}}f''(\zeta )\,$

Erro de Arredondamento

Quando aplicamos uma precisão nos cálculos, surge um erro de arredondamento, nesse caso dado por:

${\frac {f(x0+h)-f(x0)+\epsilon }{h}}=f'(x0)+{\frac {h}{2}}f''(\zeta )\,$

isto é,

${\frac {f(x0+h)-f(x0)}{h}}=f'(x0)+{\frac {h}{2}}f''(\zeta )-{\frac {\epsilon }{h}}\,$

Ver também

• Série de Taylor
• Erro de arredondamento

Bibliografia

BURDEN, L. Richard. FAIRES, Douglas. J. Análise Numérica. 8ª Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008. ISBN 978-85-221-0601-1