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Em aritmética de ponto flutuante, se chama épsilon da máquina o número mais pequeno que, somado a $1$, tenha resultado diferente de $1$, ou seja, que não é arredondado. O épsilon de máquina representa a exatidão relativa da aritmética do computador, e a sua existência é uma consequência direta da precisão finita da aritmética de ponto flutuante. O valor também é chamado de unidade de arredondamento ou menor número representável, e é simbolizado pela letra grega épsilon $\epsilon$.

Definição formal

Arredondamento é o processo de escolha da representação de um número real em um sistema numérico de ponto flutuante. Para um determinado sistema numérico e um procedimento de arredondamento, o épsilon de máquina é o máximo erro relativo do procedimento escolhido.

Algumas explicações são necessárias para se determinar o valor dessa definição. Um sistema numérico de ponto flutuante é caracterizado por uma base $b$, e por uma precisão $p$, por exemplo, o número de dígitos na base $b$ da mantissa (incluindo qualquer bit implícito). Todos os números com o mesmo expoente $e$ têm o espaçamento $b^{e-(p-1)}$. O espaçamento muda nos números que são potências perfeitas de $b$; o espaçamento no lado de maior magnitude é $b$ vezes maior que o espaçamento no lado de menor magnitude.

Uma vez que o épsilon de máquina é o limite do erro relativo, é suficiente considerar números com expoente $e=0$. Também é suficiente para considerar números positivos. Para o método de arredondamento do valor mais próximo, o erro absoluto de arredondamento é no máximo metade do espaçamento, ou $b^{-(p-1)}/2$. Este valor é o maior numerador possível para o erro relativo. O denominador no erro relativo é o número sendo arredondado, que deve ser o menor possível para tornar o erro maior. O maior erro relativo, portanto, acontece quando o arredondamento é aplicado a números na forma $1+a$ onde $a$ está entre $0$ e $b^{-(p-1)}/2$. Todos esses números arredondam para $1$ com erro relativo $a/(1+a)$. O máximo ocorre quando $a$ está no limite superior do intervalo. O $1+a$ no denominador tem pouca importância, sendo deixado de fora por conveniência, e apenas $b^{-(p-1)}/2$ é tomado com o épsilon de máquina. Como foi mostrado aqui, o erro relativo é maior para números que são arredondados para $1$, então o épsilon de máquina também é chamado de unidade de arredondamento significando simplesmente "o máximo erro que pode ocorrer quando se arredonda para o valor unitário".

Assim, o máximo espaçamento entre um número normalizado em ponto flutuante $x$, e um número normalizado adjacente é $2\epsilon$ x $|x|$.