Interseção
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Set_intersection.png/220px-Set_intersection.png)
Em teoria dos conjuntos, a interseção (pt-BR) ou intersecção (pt) (AO 1990: interseção[1] ou intersecção),[2] é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por ∩.
Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então interseção do conjunto A com o conjunto B será igual a {2,4} .
Definição
[editar | editar código-fonte]Pela teoria básica de conjuntos, define-se por:
Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula
Esse axioma garante a existência da interseção (); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único.
Em outras palavras, provou-se que
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Considerando-se que e que prova-se que:
Como o conjunto vazio tem a propriedade que temos que:
Deve-se tomar cuidado ao dizer que é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.
Interseções arbitrárias
[editar | editar código-fonte]Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M:
como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M:
O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união:
Referências
- ↑ ILTEC. «interseção (nome)». Portal da Língua Portuguesa. Consultado em 24 de Fevereiro de 2011
- ↑ ILTEC. «intersecção (nome)». Portal da Língua Portuguesa. Consultado em 24 de Fevereiro de 2011
Ver também
[editar | editar código-fonte]- União (matemática), representada por um símbolo parecido com o da interseção.