Teorema da enumeração de Chomsky - Schützenberger: diferenças entre revisões
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Revisão das 02h38min de 20 de fevereiro de 2015
Este artigo não cita fontes confiáveis. (Fevereiro de 2015) |
Em teoria da linguagem formal, o teorema da enumeração de Chomsky-Schützenberger é um teorema derivado por Noam Chomsky e Marcel-Paul Schützenberger sobre o número de palavras de um determinado comprimento gerada por uma gramática livre de contexto inequívoca. O teorema fornece uma ligação inesperada entre a teoria das linguagens formais e álgebra abstrata.
Afirmacao
A fim de indicar o teorema, são necessárias algumas noções de álgebra e teoria da linguagem formal.
Uma série podersa sobre é uma série infinita de forma
com coeficientes em . A multiplicação de duas séries poderosas e é definida de forma esperada como sendo a convolução de duas sequencias e :
Em particular, nós escrevemos , , e assim por diante. Em analogia aos números algébricos, uma série poderosa é chamada algébrica sobre , se existe um conjunto finito de polinômios cada com coeficientes de número racional tais como
Uma gramática livre-do-contexto é dita ser não-ambígua se toda palavra gerada pela gramática admite uma única árvore sintática, ou, equivalentemente, uma única derivação mais à esquerda.
Tendo estabelecido as noções necessárias, o teorema é enunciado como segue:
Teorema de Chomsky–Schützenberger. Se L é uma linguagem livre de contexto admitindo uma gramática livre de contexto inequívoca, e é o número de palavras de tamanho em , então é uma série de potência sobre que é algébrica sobre .
Provas deste teorema são dadas por Kuich & Salomaa (1985), e por Panholzer (2005).
Usos
O teorema pode ser usado em combinatórias analíticas para estimar o número de palavras de comprimento n gerados por uma determinada gramática livre de contexto inequívoca, como n cresce grande. O exemplo a seguir é dado por Gruber, Lee & Shallit (2012): A gramática livre de contexto G inequívoca sobre o alfabeto {0,1} tem símbolo inicial S e as seguintes regras:
- S → M | U
- M → 0M1M | ε
- U → S | 0M1U.
Para se obter uma representação algébrica das séries de potência G(x) associadas com uma dada gramática livre de contexto G, esta representação transforma a gramática em um sistema de equações. Isto é conseguido através da substituição de cada ocorrência de um símbolo de terminal por 'x', cada ocorrência de 'ε' pelo inteiro "1", cada ocorrência de '→' por '=', e cada ocorrência de '|' por '+ ', respectivamente. A operação de concatenação para a caso do lado direito de cada regra corresponde à operação de multiplicação nas equações assim obtidos. Isso produz o seguinte sistema de equações:
- S = M + U
- M = M²x² + 1
- U = Sx + MUx²
Neste sistema de equações, S, M, e L são funções de x, de modo que também se poderia escrever S (x), M (x), e L (x). O sistema de equações pode ser resolvido depois de S, resultando em uma única equação algébrica:
x(2x-1)S^2 + (2x-1)S +1 = 0.
Esta equação quadrática possui duas soluções para S, uma das quais é a série de potência algébrica L (x). Através da aplicação de métodos de análise complexa a esta equação, o número de palavras de comprimento n gerado por G pode ser estimado, à medida que n cresce largamente. Neste caso, obtém-se but para cada .
Ver (Gruber, Lee & Shallit 2012) para uma exposição detalhada.
Referencias
- Berstel, Jean; Boasson, Luc (1990). «Context-free languages» (PDF). In: van Leeuwen, Jan. Handbook of Theoretical Computer Science, Volume B: Formal Models and Semantics. [S.l.]: Elsevier and MIT press. pp. 59–102. ISBN 0-444-88074-7
- Chomsky, Noam; Schützenberger, Marcel-Paul (1963). «The Algebraic Theory of Context-Free Languages» (PDF). In P. Braffort and D. Hirschberg, eds., Computer Programming and Formal Systems (pp. 118–161). Amsterdam: North-Holland
- Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytic Combinatorics (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5
- Gruber, Hermann; Lee, Jonathan; Shallit, Jeffrey (2012). «Enumerating regular expressions and their languages». arXiv:1204.4982 [cs.FL]
- Kuich, Werner; Salomaa, Arto (1985). Semirings, Automata, Languages. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-69961-0
- Panholzer, Alois (2005). «Gröbner Bases and the Defining Polynomial of a Context-free Grammar Generating Function». Journal of Automata, Languages and Combinatorics. 10: 79–97