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Completude, em lógica, é o princípio que diz que toda sentença lógica pode ser demonstrada como verdadeira ou como falsa, ou mesmo como verdadeira e falsa.[1]
Completude, no estudo dos números reais, pode se referir a duas propriedades distintas, que são equivalentes para os reais, mas não são equivalentes para outras estruturas matemáticas:
Completude, para um conjunto dotado de uma relação de ordem total, significa que este conjunto não tem buracos; rigorosamente, a definição é que se o conjunto for quebrado em duas partes, de forma que todos elementos de uma parte são maiores que todos elementos da outra parte, então existe um elemento que fica exatamente no meio, e deve pertencer a uma das duas partes.[2]
Completude, no sentido de um espaço métrico, é a noção de que um certo tipo de sequências sempre converge. Uma sequência converge quando existe um ponto (o limite) para o qual, dada qualquer distância, "quase todos" (ou seja, todos exceto um número finito) pontos da sequência estão mais próximos deste ponto do que a tal distância. Uma sequência é chamada sequência de Cauchy quando, dada uma distância, "quase todos" elementos da sequência estão localizados de tal forma que qualquer par, desde subconjunto de pontos da sequência, está mais próximo que esta distância. Um espaço métrico completo é um espaço métrico em que toda sequência de Cauchy converge.
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