Conjectura de Euler

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A conjectura de Euler é dada pela igualdade:

 \sum_{i=1}^{k} a_i^k = b^k ,

cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, quem primeiro a propôs em 1769. Euler propôs que para todo inteiro k maior que 1, a soma de k potências k dos números inteiros positivos a_i é igual ao número inteiro positivo b^k. É uma fórmula matemática que mostra bastante semelhança com o Último Teorema de Fermat.

A conjectura foi falseada por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966, quando encontraram o seguinte contra-exemplo para k = 5:

27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.

Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 (x^{4} + y^{4} + z^{4} = w^{4}). Seu contra-exemplo foi:

2.682.440^{4} + 15.365.639^{4} + 18.796.760^{4} = 20.615.673^{4}.

Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies:

95.800^4 + 217.519^4 + 414.560^4 = 422.481^4.

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