Leonhard Euler

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Leonhard Euler
Matemática
Leonhard Euler, quadro a óleo por Johann Georg Brucker.
Nacionalidade Suíça Suíço
Nascimento 15 de abril de 1707
Local Basileia
Morte 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Local São Petersburgo
Atividade
Campo(s) Matemática
Alma mater Universidade de Basileia
Tese 1726: Dissertatio physica de sono
Orientador(es) Johann Bernoulli
Orientado(s) Joseph Lagrange, Johann Friedrich Hennert
Conhecido(a) por Fórmula de Euler, Número de Euler, Característica de Euler, Identidade de Euler, Reta de Euler, Constante de Euler-Mascheroni, Produto de Euler, Diagrama de Euler, Ângulos de Euler, Soma de Euler, Conjectura de Euler, Equação de Euler, Equações de Euler (fluidos), 2002 Euler
Assinatura
Euler's signature.svg
Notas É pai do também matemáticoJohann Euler.
Ele está listado por uma genealogia acadêmica como o equivalente ao assessor de doutorado de Joseph Louis Lagrange.[1]

Leonhard Paul Euler (Basileia, 15 de abril de 1707São Petersburgo, 18 de setembro de 1783) foi um grande matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha.[2]

Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.

Além disso tornou-se célebre por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática: "Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós.[3]

Euler foi um dos mais prolíficos matemáticos, calcula-se que toda a sua obra reunida teria entre 60 e 80 volumes.[4] [3]

Vida[editar | editar código-fonte]

Leonard Paul Euler [AFI[ˈɔʏlɐ], ] nasceu em Basileia, Suíça, filho do pastor calvinista Paul Euler e de Margaret Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena.[5]

Sua educação primeira foi dada por seu pai Paul que lhe ensinou matemática. Em 1720, ao treze anos, Euler ingressou na pequena Universidade de Basileia que possuía um famoso departamento de estudos da matemática liderada por Johann I Bernoulli, irmão de Jacob Bernoulli. Johann recusou-se a dar aulas particulares a Euler, oferecendo então um valioso conselho de como estudar por conta própria.[6]

Em 1722, recebe o grau de Mestre em Artes, e no seu exame deu um discurso em latim comparando as filosofias de Descartes e Newton.[7] Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli,[8] que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebraico, pela vontade de seu pai - para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.[9]

Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som, e a 1727 incorporou a competição premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como “o pai da arquitectura naval”.

Euler, entretanto, ganharia o prêmio anual doze vezes.

Contribuições para a ciência[editar | editar código-fonte]

  Parte de uma série de artigos sobre
a constante matemática e

Euler's formula.svg

Logaritmo natural · Função exponencial

Aplicações em: interesse composto · identidade de Euler & fórmula de Euler  · meia-vida & crescimento/decaimento exponencial

Definindo e: Prova de irracionalidade do número de Euler  · representações de e · teorema de Lindemann–Weierstrass

Pessoas John Napier  · Leonhard Euler

conjectura de Schanuel

Euler trabalhou em quase todas as áreas da matemática: geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, bem como deu continuidade na física, newtoniana, teoria lunar e outras áreas da física. Ele é uma figura seminal na história da matemática, suas obras, muitas das quais são de interesse fundamental, que ocupam entre 60 e 80 volumes. O nome de Euler está associado a um grande número de temas. Euler é o único matemático que tem dois números em homenagem a ele: O Número imensamente importante de Euler no cálculo, e, aproximadamente igual a 2,71828, e a constante de Euler-Mascheroni γ (gama) por vezes referido apenas como "constante de Euler", aproximadamente igual para 0,57721. Não se sabe se γ é racional ou irracional.[10]

Notação matemática[editar | editar código-fonte]

Euler introduziu e popularizou várias convenções de notação através de seus numerosos e amplamente divulgados livros didáticos. Mais notavelmente, introduziu o conceito de uma função, e foi o primeiro a escrever f(x) para denotar a função f aplicada ao argumento x. Ele também introduziu a notação moderna para as funções trigonométricas, a letra e para a base do logaritmo natural (agora também conhecido como número de Euler), a Σ letra grega para somatórios e a letra i para representar a unidade imaginária.[11] O uso da letra grega π(pi) para designar a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro também foi popularizado por Euler, embora não se originou com ele. [12]

Análise[editar | editar código-fonte]

O desenvolvimento do cálculo infinitesimal estava na vanguarda da pesquisa matemática do século 18, e os amigos ,de Euler, da Família Bernoullis - foram responsáveis ​​por grande parte do progresso inicial no campo. Graças à sua influência, estudando cálculo tornou-se o foco principal do trabalho de Euler. Embora algumas das provas de Euler não são aceitáveis ​​para os padrões modernos de rigor matemático [13] (em particular a sua dependência em relação ao princípio da generalidade da álgebra), suas idéias levaram a muitos grandes avanços. Euler é bem conhecido na análise pela sua utilização frequente e desenvolvimento da série de potência, a expressão de funções como somas de um número infinito de termos, tais como:

e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right).

Notavelmente, Euler provou diretamente as expansões em séries de potência para e e a função da tangente inversa. (Prova indireta através da técnica de séries de potência inversa foi dada por Newton e Leibniz. (Entre 1670 e 1680) Seu uso ousado da série de poder lhe permitiu resolver o famoso problema de Basileia em 1735 (ele forneceu um argumento mais elaborado em 1741): [13]

\sum_{n=1}^\infty {1 \over n^2} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}.
A interpretação geométrica da fórmula de Euler

Euler introduziu o uso da função exponencial e logaritmo em provas analíticas. Ele descobriu maneiras de expressar diversas funções logarítmicas utilizando séries de potência, e ele conseguiu definir logaritmos para números negativos e complexos, ampliando consideravelmente o leque de aplicações matemáticas de logaritmos.[11] Ele também definiu a função exponencial para números complexos, e descobriu a sua relação com as funções trigonométricas. Para qualquer número real φ (tida como radianos), a fórmula de Euler afirma que o complexo satisfaz a função exponencial.

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.\,

Um caso especial da fórmula acima é conhecida como a identidade de Euler,

e^{i \pi} +1 = 0 \,

chamada de "a fórmula mais notável em matemática", por Richard Feynman,[14] por seus usos individuais das noções de adição, multiplicação, exponenciação, e igualdade, e os usos individuais da constantes 0, 1, e, i e π. Em 1988, os leitores da Mathematical Intelligencer votaram como sendo "a fórmula matemática mais bela de todos os tempos". No total, Euler foi responsável por três das cinco melhores fórmulas nessa enquete.[15]

Pafnuti Tchebychev escreveu: "Euler foi o início de todas as pesquisas que compõem a teoria geral dos números." A maioria dos matemáticos do século XVIII se dedica ao desenvolvimento de análise, mas Euler carregava a antiga paixão aritmética ao longo de sua vida. Por causa de seu interesse na teoria dos números , a mesma ,foi revivida até o final do século.

Euler continuou com suas pesquisas feita anteriormente (sob a influência de Diophantus) uma série de hipóteses separadas sobre os números naturais. Euler provou rigorosamente essas hipóteses, muito generalizada e as combinou em uma interessante teoria dos números. Ele introduziu na matemática "função de Euler" crítica e formulada com a ajuda do "teorema de Euler." Euler criou a teoria dos resíduos quadráticos e comparações, apontando para o último critério de Euler.

Euler Introduziu a função zeta de Riemann, uma generalização, que mais tarde recebeu o nome de Bernhard Riemann \zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots verdadeiro. Euler provocou a sua expansão:

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

onde o produto é feita sobre todos os primos, \displaystyle p. Devido a isso, ele provou que a soma do inverso simples \sum_p \frac{1}{p} diverge.[16]

Teoria dos números[editar | editar código-fonte]

O interesse de Euler na teoria dos números pode ser atribuída à influência de Christian Goldbach, seu amigo na Academia de São Petersburgo. Muitos dos primeiros trabalhos de Euler na teoria dos números foram baseadas nas obras de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas das ideias de Fermat, e refutou algumas das suas conjecturas. Euler ligou a natureza da distribuição privilegiada, com ideias de análise. Conseguiu provar que a soma dos recíprocos dos primos divergem. Ao fazer isso, ele descobriu a conexão entre a função zeta de Riemann e os números primos, o que é conhecido como a fórmula do produto Euler para a função zeta de Riemann.

Euler provou identidades de Newton, Pequeno Teorema de Fermat, teorema de Fermat em somas de dois quadrados, e ele fez contribuições distintas ao Teorema de Fermat-Lagrange. Inventou também a função φ totiente (n). Usando as propriedades desta função, ele generalizou o teorema de Fermat ao que é hoje conhecido como o teorema de Euler. Ele contribuiu de forma significativa para a teoria dos números perfeitos, que havia fascinado os matemáticos desde Euclides. Euler também conjecturou a lei da reciprocidade quadrática. O conceito é considerado como um teorema fundamental da teoria dos números, e suas ideias pavimentaram o caminho para o trabalho de Carl Friedrich Gauss.[17]

Teoria dos grafos[editar | editar código-fonte]

Em 1736, Euler resolveu o problema conhecido como sete pontes de Königsberg. A cidade de Königsberg, Prússia, foi construída no rio Pregel, e incluiu duas grandes ilhas que estavam conectadas entre si e ao continente por sete pontes. O problema era o de decidir se é possível seguir um caminho que atravessa cada uma das pontes exatamente uma vez e retornar ao ponto de partida. Esta solução é considerada como sendo o primeira teorema da teoria dos grafos, especificamente da teoria gráfica planar.[18]

Euler também descobriu a fórmula V - E + F = 2 relacionando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, portanto, de um grafo planar. A constante nesta fórmula é agora conhecida como a característica de Euler para o gráfico (ou objecto de cálculo), e está relacionaao com o gênero do objeto. O estudo e generalização desta fórmula foram, especificamente através de Cauchy, L'Huillier, estando na origem da topologia.[19] [20]

Matemática aplicada[editar | editar código-fonte]

Alguns dos maiores sucessos de Euler foram na resolução de problemas do mundo real analiticamente, e em descrever inúmeras aplicações do números de Bernoulli , série de Fourier, diagramas de Venn , número de Euler s, as constantes e e pi, frações contínuas e integrais. Ele integrou cálculo diferencial de Leibniz 's com o de Newton, e as ferramentas que tornaram mais fácil de aplicar o cálculo de problemas físicos desenvolvidos. Ele fez grandes progressos na melhoria da aproximação numérica de integrais, inventando o que hoje é conhecido como aproximações de Euler. A mais notável dessas aproximações são método de Euler e a fórmula de Euler. Ele também facilitou o uso de equações diferenciais, em particular, a introdução da constante Euler-Mascheroni.

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).

Um dos interesses mais incomuns de Euler foi a aplicação de idéias matemáticas na música. Em 1739, ele escreveu o Tentamen novae theoriae musicae, na esperança de, eventualmente, incorporar a teoria musical como parte da matemática. Esta parte de seu trabalho, no entanto, não recebeu grande atenção e já foi descrita como muito matemático para músicos e demasiado musical para matemáticos.[21]

Trabalhos na física=== Euler ajudou a desenvolver o modelo de viga de Euler-Bernoulli, que se tornou um marco da engenharia. Além de aplicar com sucesso as suas ferramentas analíticas para problemas em mecânica clássica, Euler também aplicou essas técnicas para problemas celestes. Seu trabalho em astronomia foi reconhecido por uma série de prêmios da Paris Academy ao longo de sua carreira. Suas realizações incluem determinar com grande precisão as órbitas de cometas e outros corpos celestes, compreender a natureza dos cometas, e calcular a paralaxe do sol. Seus cálculos também contribuiram para o desenvolvimento de tabelas de longitude precisas.[22]

Além disso, Euler fez importantes contribuições na óptica. Ele discordou da teoria corpuscular de Newton da luz nos Opticks, que era então a teoria prevalecente. Seus trabalhos sobre óptica 1740 ajudou a garantir que a teoria ondulatória da luz proposto por Christiaan Huygens se tornaria o modo dominante de pensamento, pelo menos até o desenvolvimento da teoria quântica da luz. [23]

Em 1757, ele publicou um importante conjunto de equações, que agora são conhecidas como as Equações de Euler .

Ângulos de Euler[editar | editar código-fonte]

Ângulos de Euler α, β e γ.

Em 1765, em seu livro "A Teoria do movimento dos corpos sólidos", Euler matematicamente descreveu a cinemática de um corpo rígido de tamanho finito. Ele introduziu na matemática o teorema de Euler de ângulos de rotação. Seu nome também é usado na fórmula de cinemática da distribuição de velocidade em um sólido, conhecido como as equações (Euler - Poisson), dinâmica de corpo rígido, um dos três casos gerais integráveis ​​no problema da dinâmica de um corpo rígido com um ponto fixo.

Euler generalizou o princípio da mínima ação, um conjunto bastante confuso e apontou para a sua importância fundamental na mecânica. Infelizmente, ele não revelou a natureza do princípio variacional, mas, no entanto, atraiu a atenção de físicos, que mais tarde descobriram que o seu papel fundamental na natureza era válido.

Euler trabalhou no campo da mecânica celeste. Ele lançou as bases da teoria de perturbações, mais tarde completadas por Pierre Simon Laplace, e desenvolveu uma teoria muito precisa do movimento da lua. Esta teoria provou ser adequada para resolver o problema urgente de determinar a longitude no mar.

Principais obras de Euler nesta área: "A teoria do movimento da Lua", 1753. "A teoria do movimento dos planetas e cometas" (latim Theoria motus Planetarum et cometarum), 1774. "A nova teoria do movimento da Lua", 1772. Euler estudou o campo gravitacional não só esférica, mas os corpos elipsoidais, o que representa um significativo passo em frente[24]

Academia de São Petersburgo[editar | editar código-fonte]

Na Suíça de 1700 não havia muito trabalho para matemáticos em início de carreira. Quando se soube que a Academia de São Petersburgo procurava novos colaboradores, matemáticos de toda a Europa viajaram até à Rússia, incluindo Daniel e Nicolaus II Bernoulli – filhos de Johann Bernoulli.

Nesta altura Euler procurava também um lugar académico. Por volta de 1726, Daniel e Nicolaus conseguem que a czarina, Catarina I (viúva de Pedro I da Rússia) ofereça um lugar na Academia a Euler. Euler aceita mas não imediatamente.

Resolve só viajar para a Rússia na Primavera seguinte por dois motivos: procurava tempo para estudar os tópicos do seu novo trabalho e queria tentar conquistar um lugar vago na Universidade de Basileia, como professor de Física. Para se candidatar a este lugar, Euler escreveu um artigo sobre acústica. Apesar da qualidade do artigo, não foi escolhido para o cargo. O facto de ter apenas 19 anos terá tido influência.

Em 1727 Euler aceita integrar a Academia, embora seja a cátedra de medicina e fisiologia. Euler partiu a 5 de abril de 1727 da Basileia e chegou a capital da Rússia dia 17 de maio de 1727.

Nesse mesmo ano, Nicolaus Bernoulli morre e deixa vaga a posição de assistente em matemática, que Euler ocupa. Partilhou com Daniel Bernoulli uma casa, além de colegas eram amigos, e trabalhavam frequentemente juntos. Euler começou a dominar a língua russa e criou a sua vida em S. Petersburgo. Também aceitou um trabalho adicional como médico na Marinha Russa. A Academia de S. Petersburgo tinha como propósito melhorar a educação na Rússia e para fechar a grande falha no campo das ciências do país com a Europa Ocidental. Como resultado, foi criada especialmente para atrair estudantes estrangeiros como Euler. Euler foi feito professor de física em 1731 pela sua classificação no ranking da escola. Dois anos mais tarde, Daniel Bernoulli partiu para Basileia, sendo substituído por Euler como professor de Matemática.

Com este novo cargo, viu o seu orçamento melhorar, o que lhe permitiu trabalhar mais na sua pesquisa Matemática e constituir família. No dia 7 de janeiro de 1734, Leonhard Euler casa com Katharina Gsell, filha de um pintor da Academia Gymnasium. O casal comprou uma casa perto do rio Neva e tiveram 13 filhos, dos quais apenas 5 sobreviveram à infância.

Em 1735 Euler resolve um problema que lhe dá fama mundial – o chamado “problema de Basileia”. Trata-se de somar a série infinita dos inversos dos quadrados. Johann Bernoulli tinha lutado com este problema durante décadas, tendo desafiado matemáticos de todo o mundo. Euler desenvolve assim um novo método analítico para lidar com o problema. Mas o seu método permite também somar todas as séries infinitas do mesmo tipo em que o expoente é um número par.

Durante os anos seguintes, Euler consegue transformar a Matemática e a Física. Em meia dúzia de anos produz trabalhos fundamentais em teoria dos números, séries, cálculo de variações, mecânica, entre muitos outros.

Academia de Berlim[editar | editar código-fonte]

Depois de ter ganho, por duas vezes, o Grande Prémio da Academia de Paris, Euler recebeu o convite de Frederico, o Grande para fazer parte da Academia de Ciências da Prússia, sediada em Berlim. De início recusou o convite mas como a vida na Rússia para os estrangeiros não era fácil e devido aos tumultos da altura, Euler reconsiderou o pedido.

Deixou S. Petersburgo dia 19 de Junho de 1741 e viveu 25 anos em Berlim, onde escreveu mais de 380 artigos. Publicou em Berlim os dois trabalhos que o iriam tornar mais reconhecido: Introductio in analysin infinitorum, publicado em 1748 e Institutiones calculi differentialis.

Entretanto, é convidado para ser tutor da Princesa Anhalt-Dessau, sobrinha de Frederico II, o Grande. Euler escreveu mais de 200 cartas dirigidas à princesa, que mais tarde foram compiladas num volume best-selling intitulado Cartas de Euler sobre diferentes assuntos da Filosofia natural para uma Princesa Alemã. Este trabalho incorpora exposições sobre vários assuntos pertencentes à física e matemática, dando também a conhecer as perspectivas religiosas e a própria personalidade do seu autor.

Euler passou 25 anos na corte de Frederico II.

Durante todo esse tempo, continuou a receber uma pensão da Rússia, que usava para comprar livros e instrumentos para a Academia de S. Petersburgo, onde continuou a apresentar vários artigos.

A contribuição de Euler para a Academia de Berlim foi impressionante: supervisionava o observatório e o jardim botânico, selecionava pessoal e geria várias questões financeiras, coordenava a publicação de mapas geográficos e de trabalhos científicos, uma fonte de rendimentos para a Academia.

Porém apesar dessa grande contribuição que resultou no prestigio da Academia, foi forçado a abandonar Berlim, devido a um conflito de interesses entre Euler e Frederico II.

Este veio chamá-lo de pouco sofisticado em comparação ao círculo de filósofos trazidos pelo rei alemão para a Academia. Voltaire estava entre esses filósofos: um francês que teve um posição favorecida no círculo social do Rei. Euler, um simples homem religioso e um grande trabalhador, era muito convencional nos seus gostos e crenças. Era em muitas maneiras o oposto directo de Voltaire.

Ficou famosa uma disputa na corte sobre a existência de Deus em que, depois de Voltaire ter argumentado a favor da inexistência de Deus e, portanto, da banalidade da fé religiosa de Leonhard Euler, este simplesmente escreveu uma equação num quadro e declarou “e, portanto, segue-se que Deus existe”.

Frederico II, o Grande e Voltaire[editar | editar código-fonte]

Porém Euler tinha caído em desgraça junto de Frederico II, que lhe chamava “ciclope” – numa referência ao seu defeito físico. Já desde 1735, Euler sofria de alguns problemas de saúde, como febres altas. Em 1738, perdeu a visão do olho direito, devido ao excesso de trabalho. Mas tal infelicidade não diminuiu em nada a sua produção Matemática.

Euler nunca teve problemas em produzir trabalhos de diferentes géneros, como por exemplo, material para livros-textos para as escolas russas. Geralmente escrevia em latim, mas também em francês, embora a sua língua de origem fosse o alemão. Tinha uma enorme facilidade para línguas, como bom suíço que era, o que lhe facilitava muito a vida nas diversas viagens que fazia, como era costume dos matemáticos do século XVIII. Em 1749, depois de 7 anos de trabalho e quase cem anos após a morte de Fermat, conseguiu provar a teoria de Fermat.

Em 1759, com a morte de Maupertius (1698-1759), o lugar de director da Academia foi dado a Euler. Ao saber que outro cargo, o de presidente, tinha sido oferecido ao matemático d'Alembert, com quem tinha tido algumas divergências sobre questões cientificas, Euler ficou bastante perturbado. Apesar de d'Alembert não ter aceite o cargo, Frederico continuou a implicar com Euler, que farto de tal situação, aceitou o convite feito por Catarina, a Grande de voltar para a Academia de S. Petersburgo.

Retorno à Rússia em 1766[editar | editar código-fonte]

Retrato em 1753 por Emanuel Handmann.

Durante esse ano, descobre que, devido a cataratas, começou a perder a visão do olho esquerdo. Pensando no futuro, tentou preparar-se para a cegueira treinando escrever com giz numa ardósia ou ditando para algum dos seus filhos.

Porém, em 1771, perdeu todos os seus bens, à excepção dos manuscritos de Matemática, num incêndio na sua casa. No mesmo ano é operados às cataratas, o que lhe restitui a visão durante um breve período de tempo. Mas, ao que parece, Euler não terá tomado os devidos cuidados médicos tendo ficado completamente cego. Em 1773 perdeu a sua mulher de 40 anos. Passou os anos finais de sua vida na Rússia, então sob a proteção de Catarina a Grande.

Morreu em 18 de setembro de 1783, em São Petersburgo vítima de um acidente vascular cerebral. Foi enterrado no Mosteiro Alexander Nevsky.

Problemas na visão[editar | editar código-fonte]

A acuidade visual de Euler piorou ao longo de sua carreira matemática. Três anos depois de sofrer uma febre quase fatal em 1735, tornou-se quase cego do olho direito, mas Euler em vez de culpar o problema , apresentou um trabalho meticuloso sobre cartografia para a Academia de São Petersburgo. A visão de Euler se agravou durante a sua estada na Alemanha, na medida em que Frederico II da Prússia se referia a ele como "Cyclops". Euler mais tarde desenvolveu uma catarata no olho esquerdo, deixando-o quase totalmente cego poucas semanas depois de sua descoberta em 1766. No entanto, sua condição parece ter pouco efeito sobre sua produtividade, compensando com suas habilidades de cálculo mental e de memória fotográfica. Por exemplo, Euler conseguiu repetir a Eneida de Virgílio, do começo ao fim, sem hesitação. Com a ajuda de seus escribas, a produtividade de Euler em muitas áreas de estudo, na verdade, aumentou. Ele produziu, em média, um papel matemático durante todas as semanas do ano 1775

Euler e outros matemáticos[editar | editar código-fonte]

Euler e d'Alembert[editar | editar código-fonte]

O trabalho entre Euler e d'Alembert sempre convergiu no mesmo sentido. Os seus interesses eram quase os mesmos, apesar de ter havido alguma controvérsia entre eles sobre o problema das membranas vibrantes, em 1757, cuja solução da equação de Bessel, Euler conseguiu obter, o que ocasionou um afastamento. Mas, com a teoria dos números houve um grande apoio por parte de d’Alembert a Euler.

A contribuição de Euler para a teoria dos logaritmos não se restringiu à definição de expoentes, como usamos hoje. Trabalhou, também, no conceito de logaritmo de números negativos.

Enquanto se mantinha ocupado a pesquisar Matemática em Berlim, d’Alembert pesquisava em Paris.

Em 1747, Euler escreveu a este matemático explicando correctamente a questão dos logaritmos dos números negativos. Mas ao contrário do que seria de se esperar, a fórmula formulada por Euler, válida para qualquer ângulo (em radianos), não foi compreendida por Bernoulli nem por d'Alembert pois, para estes, os logaritmos de números negativos eram reais, o que não é verdade já que se tratam de números imaginários puros.

Através da sua identidade – mais tarde conhecida como Igualdade de Euler – é possível observar que os logaritmos de números complexos, reais ou imaginários, também são números complexos. Usando as identidades de Euler é também possível expressar quantidades como sen(1 + i) ou cos(i), na forma usual para números complexos. Desta maneira, vê-se que ao efectuar operações transcendentes elementares sobre os números complexos, os resultados são números complexos.

Assim sendo, Euler foi capaz de demonstrar que o sistema de números complexos é fechado sob as operações transcendentes elementares, enquanto d’Alembert sugerira que o sistema de números complexos era algebricamente fechado.

Euler e Fermat[editar | editar código-fonte]

Tanto Fermat como Euler sentiram-se bastante interessados pela teoria dos números. Embora não haja qualquer livro sobre este assunto, Euler escreveu cartas e artigos sobre vários aspectos desta teoria. Entre elas encontram-se as conjecturas apresentadas por Fermat, que foram derrubadas por Euler. Duas dessas conjecturas foram:

  • Os números da forma 22n + 1 são sempre primos;
  • Se p é primo e a um inteiro, então ap – a é divisível por p.

A primeira foi derrubada em 1732 com o auxílio do seu domínio em computação, evidenciando que 225 + 1 = 4294967297 é factorizável em 6700417 * 641. No entanto, no recurso a um contra exemplo para deitar por terra a segunda conjectura, Euler também errou, apesar do erro só ter sido descoberto em 1966, dois séculos depois e com o auxílio de um computador.

Euler também realizou a demonstração de uma conjectura bastante conhecida, denominada como Pequeno Teorema de Fermat. Tal demonstração foi apresentada numa publicação em 1736, denominada Commentarii.

Posteriormente, demonstrou uma afirmação mais geral do Pequeno Teorema de Fermat, que veio a chamar-se Função de Euler. Mas, contrariando o que seria esperado, Euler não foi capaz de demonstrar o Último Teorema de Fermat, embora provasse a impossibilidade de soluções inteiras de xn + yn = zn para n = 3.

Em 1747, definiu mais 27 números amigáveis, que se juntaram aos três já conhecidos por Fermat. Mais tarde aumentou o número para 60. Euler também provou que todos os números perfeitos pares são da forma dada por Euclides, 2n-1(2n – 1), onde 2n – 1 é primo. Se existe ou não um número ímpar perfeito foi uma questão levantada por Euler e Goldbach, através de correspondência, ainda hoje sem resposta.

Comemorações[editar | editar código-fonte]

Antiga nota de 10 francos suiços homenageando Euler.
1957 Selo da União Soviética em comemoração dos 250° aniversário de Euler. O texto diz: 250 anos do nascimento do grande matemático, acadêmico Leonhard Euler.
Selo da antiga República Democrática Alemã honrando Euler no 200º aniversário de sua morte. No centro, sua Fórmula do poliedro, hoje em dia escrita ve + f = 2.

Euler foi destaque na sexta série de notas de 10 francos suiços e em numerosos selos suíço, alemão e russos. O asteróide 2002 Euler foi nomeado em sua honra. Ele também é comemorada pela Igreja Luterana em seu Calendário dos Santos em 24 de maio, ele era um devoto cristão (crente na infalibilidade bíblica), que escreveu apologéticas e argumentou energicamente contra os ateus proeminentes de seu tempo.[25]

Em 15 de abril de 2013, os 306 anos de Euler foi comemorado com um Google Doodle.[26]

Existe uma anedota falsa sobre Euler e Diderot, quando este estava em São Petersburgo, Rússia, influenciando a corte russa com seu ateísmo, e Euler foi chamado a intervir. Euler teria uma prova matemática da existência de Deus, e teria dito "Monsieur, \frac{a+b^n}{n}=x, donc Dieu existe. Respondez!". Diderot não teria conseguido responder, e retirou-se humilhado sob os risos da corte. Esta anedota é falsa.[27] [28]

Principais publicações[editar | editar código-fonte]

  • Dissertatio physica de song (Basel, 1727, in quarto)
  • Mechanica, sive motus scientia analytice; expasita (St Petersburg, 1736, in 2 vols. quarto)
  • Ennleitung in die Arithmetik (ibid., 1738, in 2 vols. octavo), in German and Russian
  • Tentamen novae theoriae musicae (ibid. 1739, in quarto)
  • Methodus inveniendi limas curvas, maximi minimive proprictate gaudentes (Lausanne, 1744, in quarto)
  • Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlin, 1744, in quarto)
  • Beantwortung, &c., ou Answers to Different Questions respecting Comets (ibid., 1744, in octavo)
  • Neue Grundsatze, c., ou New Principles of Artillery, traduzido para o inglês por Benjamin Robins, com notas e ilustrações (ibid., 1745, in octavo)
  • Opuscula varii argumenti (ibid., 1746-1751, in 3 vols. quarto)
  • Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (ibid., 1746, in quarto)
  • Tabulae astronomicae solis et lunae (ibid., quarto)
  • Gedanken, &c., ou Thoughts on the Elements of Bodies (ibid. quarto)
  • Rettung der gall-lichen Offenbarung, &c., Defence of Divine Revelation against Free-thinkers (ibid., 1747, in 4t0)
  • Introductio it analysin infinitorum (Lausanne, 1748, in 2 vols. 4t0)
  • Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navi bus (St Petersburg, 1749, in 2 vols. quarto)
  • Theoria motus lunae (Berlin, 1753, in quarto)
  • Dissertatio de principio mininiae actionis, ' una cum examine objectionum cl. prof. Koenigii (ibid., 1753, in octavo)
  • Institutiones calculi differentialis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac doctrina serierum (ibid., 1755, in 410)
  • Constructio lentium objectivarum, &c. (St Petersburg, 1762, in quarto)
  • Theoria motus corporum solidoruni seu rigidorum (Rostock, 1765, in quarto)
  • Institutiones,calculi integralis (St Petersburg, 1768-1770, in 3 vols. quarto)
  • Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de physique it de philosophic (St Petersburg, 1768-1772, in 3 vols. octavo)
  • Anleitung zur Algebra, ou Introduction to Algebra (ibid., 1770, in octavo); Dioptrica (ibid., 1767-1771, in 3 vols. quarto)
  • Theoria motuum lunge nova methodo pertr.arctata (ibid., 1772, in quarto)
  • Novae tabulae lunares (ibid., in octavo); La théorie complete de la construction et de la manteuvre des vaisseaux (ibid., .1773, in octavo)
  • Eclaircissements svr etablissements en favour taut des veuves que des marts, without a date
  • Opuscula analytica (St Petersburg, 1783-1785, in 2 vols. quarto). See Rudio, Leonhard Euler (Basel, 1884)

Referências[editar | editar código-fonte]

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  8. James, Ioan. Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. [S.l.]: Cambridge (ed.). 2 p. ISBN 0-521-52094-0
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  28. Dirk J. Struik, "A História Concisa das Matemáticas

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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