Análise complexa

A análise complexa é um ramo da matemática que investiga as funções holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em alguma região do plano complexo, e que tomam valores complexos e são diferenciáveis como funções complexas.

Funções Complexas

Seja A um conjunto de números complexos. Se $z$ denota qualquer um dos números do conjunto A, então $z$ é denominado uma varíavel complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da varíavel complexa $z$ para com uma outra variável complexa $w$ para cada valor possível de $z$ (elementos do conjunto A), então $w$ é uma função da varíavel complexa z no conjunto A e isto é denotado como $w = f(z)$.O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função $w$.

Como todo numéro complexo pode ser escrito na forma $z = a+bi$, em que $a = R(z), b = Im(z)$ indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa $w = f(z)$ na forma $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$. Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

$P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n$, em que z é uma varíavel complexa, é uma função polinomial em varíavel complexa.

Limites de Funções Complexas

Seja uma função $f$ definida em todos os pontos em alguma vizinhança de um ponto $z_0$, exceto possivelmente no próprio ponto $z_0$. A afirmativa de que o limite de tal função, quando $z$ tende a $z_0$, é um número $w_0$, denotado como $\lim_{z \to z_0}f(z) = w_0$, significa que a função é arbitrariamente próxima do valor $w_0$ para todos os pontos $z$ numa vizinhança de $z_0$, exceto possivelmente quando $z = z_0$, quando esta vizinhança for suficientemente pequena. Assim, dados a função f e dois números complexos $z_0$ e $w_0$, existe uma número positivo $\delta$ correspondendo a cada número positivo $\epsilon$ de forma que:

$|f(z) - w_0| < \epsilon$ sempre que $|z - z_0| < \delta$. ($z$ ≠ $z_0$)

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

A Derivada de uma Função Complexa

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite $\lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z)- f(z_0)}{\Delta z} = f'(z) = \frac {d f}{d z}$, denominado "derivada" da função $f$ em relação a $z$ no ponto $z_0$. Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

As Condições de Cauchy-Riemann

Suponha que a função f seja derivável em $z_0$, em que $z_0 = x_0 + i y_0$:

$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$

$f'(z) = a + i b$

$\Delta f = f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)$

$\Delta u = u(x_0 + \Delta x, y_o + \Delta y) - u(x_0,y_0)$

e $\Delta v$, para a mudança correspondente em v(x,y). Então $\lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y} = a+ i b$

e também:

$\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} R(\frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}) = a$

$\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} Im(\frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}) = b$

Em particular, quando $\Delta y = 0$, em que $\Delta z = \Delta x$, esses limites se tornam limites de funções de uma varíavel (\Delta x) de forma que:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac {u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} = a$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac {v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} = b$

ou seja, as derivadas parciais $\frac {\part u}{\part x}$ e $\frac {\part v}{\part x}$ com relação a x existem no ponto $(x_0,y_0)$ e

$\frac {\part u}{\part x} = a$

$\frac {\part v}{\part x} = b$

O procedimento análogo pode ser feito observando quando $\Delta x = 0 (\Delta z = i \Delta y)$ de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

$\frac {\part u}{\part y} = -b$

$\frac {\part v}{\part y} = a$ , no ponto $(x_0,y_0)$

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

$\frac {\part u}{\part x}=\frac {\part v}{\part y}$

$\frac {\part u}{\part y}=-\frac {\part v}{\part x}$

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como $f'(z) = a + i b$, chegamos à expressão $f'(z) =\frac {\part u}{\part x} + i \frac {\part v}{\part x} = \frac {\part v}{\part y}- i \frac {\part u}{\part y}$, no ponto $(x_0,y_0)$. Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada $f'(z)$ de uma função $f = u + i v$ existe num ponto $z$, então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a $x$ e $y$, de cada componente $u$ e $v$ devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, $f'(z)$ é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação $f'(z) =\frac {\part u}{\part x} + i \frac {\part v}{\part x} = \frac {\part v}{\part y}- i \frac {\part u}{\part y}$.