Plano complexo

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Plano de Argand-Gauss

O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo z como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (afixo ou imagem, quando z está na forma trigonométrica) (3, -5) no plano de Argand-Gauss.

Representação[editar | editar código-fonte]

Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:

Utilidade[editar | editar código-fonte]

O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.

Geometria com complexos[editar | editar código-fonte]

A geometria com complexos é comummente utilizada para facilitar as contas para resolução de problemas de números complexos.

Um complexo na sua forma algébrica z=a+bi, possuindo parte real a e parte imaginária b.

Desta forma um número complexo z=a+bi pode ser interpretado como um ponto no plano de Argand-Gauss, aonde pode ser trabalhado da mesma forma que no plano cartesiano, tendo seus afixos (pontos (x,y)) em a como x e b como y.

Um complexo pode ter associado nele um vetor de origem na origem (0,0) e extremidade em (a,b).

Na figura ao lado direito, o ponto no circulo é o afixo de z com as coordenadas (a,b).

O Módulo por definição é a distancia de um ponto até a origem, assim sendo o módulo do complexo z representado por |z| pode ser deduzido através da geometria analítica como

|z| = \sqrt{a^2+b^2}.


Um complexo apresenta também além da forma algébrica, uma forma trigonométrica (também conhecida por forma polar):

z=|z|(\cos(\theta)+i\mathrm{sen}\,(\theta))

O ângulo \theta que é medido a partir do eixo x positivo, seguindo em sentido anti-horário, é chamado de argumento de um complexo.

É possível calcular \theta através de relações trigonométricas. Sendo z=a+bi,

\mathrm{sen}\,(\theta) = \frac{b}{|z|}

e

\cos(\theta) = \frac{a}{|z|}.

Por exemplo: Se  z = \sqrt{3} + i, então

|z|= \sqrt{ (\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2.

Além disso,

\mathrm{sen}\,(t) = \frac{b}{|z|} = \frac{1}{2}

e

\cos(t) = \frac{a}{|z|} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Assim, a forma trigonométrica de z é:

z = 2(\cos \frac{\pi}{6}+i\mathrm{sen}\, \frac{\pi}{6}).