Plano complexo

Plano de Argand-Gauss

O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo z como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (afixo ou imagem, quando z está na forma trigonométrica) (3, -5) no plano de Argand-Gauss.

Representação

Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:

• A parte real, representada pela abcissa do ponto;
• a parte imaginária, representada pela ordenada do ponto;
• o módulo, representado pelo raio da circunferência de centro no ponto $(0; 0);$
• o argumento, representado pelo ângulo direcionado em sentido anti-horário entre o ponto $z = x + yi,$ o ponto $(0; 0)$ e o eixo das abcissas.

Utilidade

O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.

Geometria com complexos

A geometria com complexos é comummente utilizada para facilitar as contas para resolução de problemas de números complexos.

Um complexo na sua forma algébrica $z=a+bi,$ possuindo parte real $a$ e parte imaginária $b.$

Desta forma um número complexo $z=a+bi$ pode ser interpretado como um ponto no plano de Argand-Gauss, aonde pode ser trabalhado da mesma forma que no plano cartesiano, tendo seus afixos (pontos $(x,y)$) em $a$ como $x$ e $b$ como $y.$

Um complexo pode ter associado nele um vetor de origem na origem $(0,0)$ e extremidade em $(a,b).$

Na figura ao lado direito, o ponto no circulo é o afixo de $z$ com as coordenadas $(a,b).$

O Módulo por definição é a distancia de um ponto até a origem, assim sendo o módulo do complexo $z$ representado por $|z|$ pode ser deduzido através da geometria analítica como

$|z| = \sqrt{a^2+b^2}.$

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Um complexo apresenta também além da forma algébrica, uma forma trigonométrica (também conhecida por forma polar):

$z=|z|(\cos(\theta)+i\mathrm{sen}\,(\theta))$

O ângulo $\theta$ que é medido a partir do eixo $x$ positivo, seguindo em sentido anti-horário, é chamado de argumento de um complexo.

É possível calcular $\theta$ através de relações trigonométricas. Sendo $z=a+bi,$

$\mathrm{sen}\,(\theta) = \frac{b}{|z|}$

e

$\cos(\theta) = \frac{a}{|z|}.$

Por exemplo: Se $z = \sqrt{3} + i,$ então

$|z|= \sqrt{ (\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2.$

Além disso,

$\mathrm{sen}\,(t) = \frac{b}{|z|} = \frac{1}{2}$

e

$\cos(t) = \frac{a}{|z|} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Assim, a forma trigonométrica de $z$ é:

$z = 2(\cos \frac{pi}{6}+i\mathrm{sen}\, \frac{pi}{6}).$