Função modular

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O módulo ou valor absoluto (representado matematicamente como |a|) de um número real a é o valor numérico de a desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

Definição[editar | editar código-fonte]

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

|a| =
\begin{cases}
a, & \mbox{se }  a \ge 0 \\
-a,  & \mbox{se } a < 0.
\end{cases}

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

|a| = \sqrt{a^2} (1)

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto.[1]

O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

|a| \ge 0 (2) É não negativo
|a| = 0 \iff a = 0 (3) É positivo definido
|ab| = |a||b| (4) É multiplicativo
|a+b|  \le |a| + |b|  (5) É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

|-a| = |a| (6) Simetria
|a - b| = 0 \iff a = b (7) Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
|a - b|  \le |a - c| +|c - b|  (8) Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (se } b \ne 0) (9) Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
|a-b| \ge ||a| - |b|| (10) (equivalente à subaditividade)

No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ ou } b \le a

Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

|x-3| \le 9 \iff -9 \le x-3 \le 9
\iff -6 \le x \le 12

O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

  • |a|^2 = a^2,\qquad \forall a \in \mathbb{R}
  • |-a|=|a|,\qquad \forall a \in \mathbb{R}
  • |a+b|\le|a|+|b|,\qquad \forall a,b \in \mathbb{R}

Notas e referências

  1. Stewart, James B.. Calculus: concepts and contexts. Australia: Brooks/Cole, 2001. ISBN 0-534-37718-1, p. A5
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