Função modular

O módulo, ou valor absoluto (representado matematicamente como |a|) de um número real a é o valor numérico de a desconsiderando seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

Definição

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

$|a| = \begin{cases} a, & \mbox{se } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{se } a < 0. \end{cases}$

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

Gráfico demonstrativo para conceituação matemática da distância para valores absolutos ou módulos

Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

Propriedades

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

$|a| = \sqrt{a^2}$

$(1)$

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto.

O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

$|a| \ge 0$	$(2)$	É não negativo
$|a| = 0 \iff a = 0$	$(3)$	É positivo definido
$|ab| = |a||b|$	$(4)$	É multiplicativo
$|a+b| \le |a| + |b|$	$(5)$	É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

$|-a| = |a|$	$(6)$	Simetria
$|a - b| = 0 \iff a = b$	$(7)$	Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
$|a - b| \le |a - c| +|c - b|$	$(8)$	Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
$|a/b| = |a| / |b| \mbox{ (se } b \ne 0)$	$(9)$	Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
$|a-b| \ge ||a| - |b||$	$(10)$	(equivalente à subaditividade)

No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

$|a| \le b \iff -b \le a \le b$

$|a| \ge b \iff a \le -b \mbox{ ou } b \le a$

Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

$|x-3| \le 9$	$\iff -9 \le x-3 \le 9$
	$\iff -6 \le x \le 12$

O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

• $|a|^2 = a^2,\qquad \forall a \in \mathbb{R}$
• $|-a|=|a|,\qquad \forall a \in \mathbb{R}$
• $|a-b|\le|a|+|b|,\qquad \forall a,b \in \mathbb{R}$