Desigualdade triangular

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Em qualquer triângulo, tem-se a<b+c, b<a+c e c<a+b.

A desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e refere-se ao teorema que afirma que, num triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I.[1] É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto/recto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

A desigualdade triangular nos números reais[editar | editar código-fonte]

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

| u+v | \le |u| + |v|.

Que dá origem a outras desigualdades:

  • | u-v |\leq |u|+|v|
  • | u-v | \ge |u| - |v|\,
  • | u-v | \ge \Big| |u| - |v| \Big|\,

Para a primeira, escreva | u-v |= |u+(-v)| \le |u| + |-v|=|u|+|v|

Para a segunda, | u | = |v + (u-v)|\leq |v| + |u-v| \,

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em \mathbb{R}^n[editar | editar código-fonte]

Teorema[editar | editar código-fonte]

*

Em \mathbb{R}^n, quaisquer que sejam x, y \in \mathbb{R}^n, tem-se[2] :

\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|

Havendo igualdade se e só se x y forem linearmente dependentes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente[2] .

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

\|x + y \|^2 = \langle x +y, x+y \rangle = \langle x, x \rangle + 2 \langle x,y \rangle + \langle y, y \rangle (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

\langle x, x \rangle + 2 \langle x,y \rangle + \langle y, y \rangle \leq \|x\|^2 + 2 \|x\|\|y\| + \|y\|^2 = \left (\|x\| + \|y\| \right )^2

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

\|x + y \|^2 \leq  \left ( \|x\| + \|y\| \right ) ^2 \Leftrightarrow \|x + y \| \leq  \|x\| + \|y\| Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre directamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).

Desigualdade triangular para números complexos[editar | editar código-fonte]

Sejam X e Y dois números complexos, então vale:

  • |X+Y| \leq |X|+|Y|
  • |X|-|Y| \leq |X-Y|

Desigualdade triangular em espaço métrico[editar | editar código-fonte]

A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:

d(x,y) \le d(x,z)+ d(z,y)\,

Desigualdade triangular em espaço normado[editar | editar código-fonte]

A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|

E generaliza-se por indução matemática para:

\left\|\sum_{n=1}^{N}x_n \right\| \leq \sum_{n=1}^{N}\|x_n\|

E também para séries infinitas:

\left\|\sum_{n=1}^{\infty}x_n \right\| \leq \sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|

Desigualdade triangular para integrais[editar | editar código-fonte]

A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real f(x)\, integrável.

\left|\int_{V}f(x)dx\right| \leq \int_{V}|f(x)|dx

Ver também[editar | editar código-fonte]

  • SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.

Referências

  1. Euclides, Os Elementos, Livro I, Proposição 20 [em linha]
  2. a b QUEIRÓ, J. F.; SANTANA, A. P. (2010). Introdução à Álgebra Linear (1.ª edição). Gradiva ISBN 978-989-636-372-3. Páginas 149 e 150.
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