Análise matemática

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Integral como região sob a curva.
Definição de limite.

Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial e integral, medidas, limites, séries infinitas[1] e funções analíticas. Surgiu da necessidade de prover formulações rigorosas às idéias intuitivas do cálculo, sendo hoje uma disciplina muito mais ampla, tais tópicos são tratados em uma subdivisão chamada análise real.

Se a Análise surgiu do estudo dos números e funções reais, sua abrangência cresceu de forma a estudar os números complexos, bem como espaços mais gerais, tais como os espaços métricos, espaços normados e os espaços lineares topológicos (ELT).

Embora seja difícil definir exatamente o que seja análise matemática e delinear precisamente seu objeto de estudo, pode-se dizer grosseiramente que a análise se dedica ao estudo das propriedades topológicas em estruturas algébricas.

História[editar | editar código-fonte]

Arquimedes usou o método da exaustão para calcular a área de um círculo encontrando a área de polígonos regulares com cada vez mais lados. Esse foi um antigo mas informal exemplo de limite, um dos conceitos mais básicos em análise matemática.

A análise matemática foi desenvolvida formalmente no século XVII, durante a Revolução Científica,[2] mas muitas das suas ideias remontam aos matemáticos de tempos anteriores. Os primeiros resultados em análise estiveram implicitamente presentes nos primórdios da matemática grega antiga. Por exemplo, uma soma geométrica infinita está implícita no paradoxo da dicotomia de Zeno.[3]
Mais tarde, matemáticos gregos tais como Eudoxo e Arquimedes fizeram uso mais explícito, mas informal, dos conceitos de limite e convergência quando usaram o método da exaustão para calcular áreas e volumes de regiões e sólidos.[4] O primeiro uso explícito de infinitesimais aparece na obra O Método dos Teoremas Mecânicos, de Arquimedes, que foi redescoberta no século XX.[5]
Na Ásia, o matemático chinês Liu Hui usou o método da exaustão no século III d.C para encontrar a área de um círculo.[6] No século V, Zu Chongzhi estabeleceu um método que mais tarde viria a ser redescoberto no oeste, e que é agora conhecido por princípio de Cavalieri, para encontrar o volume de uma esfera.[7]
No século XII, o matemático indiano Bhāskara II forneceu exemplos de derivadas e usou o que agora se conhece por teorema de Rolle.[8]

No século XVIII, Euler introduziu a noção de função.[9] A análise real começou a emergir como disciplina independente quando o matemático boêmio Bernard Bolzano introduziu a definição moderna de continuidade em 1816.[10] No século XIX, Cauchy ajudou a assentar o cálculo infinitesimal em fundamentos lógicos firmes com a introdução do conceito de sucessão de Cauchy. Foi ele também que iniciou a teoria formal da análise complexa. Poisson, Liouville, Fourier e outros mais estudaram as equações em derivadas parciais e a análise harmônica. Com as contribuições destes e doutros matemáticos como Weierstrass, foi-se estabelecendo a ideia moderna de rigor matemático.[11]

Principais ramos[editar | editar código-fonte]

  • Análise real (tradicionalmente, a teoria das funções de uma variável real) é o ramo da análise matemática que lida com números reais e as funções de valor e variável reais.[12] [13]
  • Equações diferenciais são equações matemáticas para um função desconhecida de várias variáveis que relacionam os valores da própria função e as suas derivadas de várias ordens.[17] [18] [19]
  • Teoria da medida é o ramo que estuda as medidas de conjuntos, fornecendo maneiras sistemáticas de atribuir um número a cada subconjunto apropriado desse conjunto, número esse intuitivamente interpretado como o seu tamanho.[20]
  • Análise numérica é o estudo de algoritmos que usam aproximações numéricas (em oposição às manipulações simbólicas de aplicação geral) no estudo de problemas de análise matemática.[21]

Referências

  1. HEWITT, Edwin; STROMBERG, Karl. "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
  2. Jahnke, Hans Niels. A History of Analysis. [S.l.]: American Mathematical Society, 2003. p. 7. ISBN 978-0-8218-2623-2.
  3. Stillwell. Título não preenchido. Favor adicionar. [S.l.: s.n.], 2004. 170 pp.
  4. (Smith, 1958)
  5. Pinto, J. Sousa. Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis. [S.l.]: Horwood Publishing, 2004. p. 8. ISBN 978-1-898563-99-0. Visitado em 8/7/2014.
  6. (1966) "A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles" 130. Springer., Chapter , p. 279
  7. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S.. In: Dennis G.. Calculus: Early Transcendentals. 3. ed. [S.l.]: Jones & Bartlett Learning, 2009. p. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. , Extract of page 27
  8. Seal, Sir Brajendranath (1915), The positive sciences of the ancient Hindus, Longmans, Green and co. 
  9. Dunham, 2006.
  10. Cooke, 1997.
  11. Gerhard; Harrier, Ernst. Analysis by its history. 1a.. ed. [S.l.]: Springer, 2005.
  12. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. ed. [S.l.]: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
  13. Abbott, Stephen. Understanding Analysis. New York: Springer-Verlag, 2001. ISBN 0-387-95060-5.
  14. Ahlfors.,Complex Analysis (McGraw-Hill)
  15. Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991
  16. Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
  17. E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60349-0
  18. Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
  19. Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 
  20. Terence Tao, 2011. An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Society.
  21. Hildebrand, F. B.. Introduction to Numerical Analysis. 2nd edition. ed. [S.l.]: McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-028761-9.

Ver também[editar | editar código-fonte]


Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.