Grupo de renormalização

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Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa idéia foi introduzida por Kenneth Wilson[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de Renormalização no espaço de momentos[editar | editar código-fonte]

Suponha uma teoria quântica de campos com campos \phi(x) e constantes de acoplamento g descrita pela ação clássica S(\phi,g). Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de \phi(x)

\phi(x) = \int dk\;e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências 0\leq |k| \leq \infty. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta \Lambda_{UV}. Isto é, limitamos a integral ao disco

 |k|\leq \Lambda_{UV}

Chamaremos esse campos de \phi_0(x) e diremos que ele é o campo na escala \Lambda_{UV}. Então

\phi_0(x) = \int_{0\leq |k|\leq \Lambda_{UV}} dk\; e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)

Também chamaremos a constante de acoplamento de g_0. A função partição sobre os campos \phi_0(x) é

Z=\int\mathcal{D}\phi_0\;e^{-S(\phi_0,g_0)}

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo \phi_0(x) é praticamente constante em distâncias menores que \Delta x\simeq 1/\Lambda_{UV}. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a intrudção desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo 1/\Lambda_{UV}\rightarrow 0, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita \mu regulares.[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

0\leq |k|\leq\mu e \mu\leq |k|\leq\Lambda_{UV}

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

\phi_B(x) = \int_{0\leq |k|\leq \mu} dk\; e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)
\phi_A(x) = \int_{\mu\leq |k|\leq \Lambda_{UV}} dk\; e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)

onde B e A referemem a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que \mu, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos \leq \mu. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de \phi_B(x). Ela pode ser obtida integrando sobre \phi_A(x) na integral de trajetória, mantendo \phi_B(x) variável

e^{-S_{eff}(\phi_A,g_0)}=\int\mathcal{D}\phi_A\;e^{-S(\phi_B+\phi_A,g_0)}

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia \mu. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo \Lambda_{UV}/\mu \rightarrow\infty, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

g_0=g_0(g,\frac{\Lambda_{UV}}{\mu})
\phi_0(x)=Z(g,\frac{\Lambda_{UV}}{\mu})\phi(x)+\phi_A(x)

Aqui, \phi(x) e g são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

e^{-S_{eff}(\phi,g,\mu)}=\int\mathcal{D}\phi_A\;e^{-S(\phi_0,g_0)}

é regular no limite para o contínuo. Os campos \phi_0(x) e as contantes g_0 na escala de corte \Lambda_{UV} são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto \phi(x) e g são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik[editar | editar código-fonte]

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar \mu e variar \Lambda_{UV}. Nós fixamos os campos \phi(x) e constantes de acoplamento g numa escala \mu (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus \phi_0(x) e as contantes nuas g_0. Se pudermos mover \Lambda_{UV} para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia \mu (descrito por \phi(x) e g), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover \mu, fixando \Lambda_{UV} e consequentemente \phi_0(x) e g_0. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de \mu_1 para \mu_2, as constantes de acoplamento mudarão de g_1=(g_0,\frac{\mu_1}{\Lambda_{UV}}) para g_2=g(g_0,\frac{\mu_2}{\Lambda_{UV}}), onde g(g_0,\frac{\mu}{\Lambda_{UV}}) é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entr \mu_1\leq |k|\leq \mu_2, podemos repetir o raciocínio e escrever g_2=g(g_1,\frac{\mu_2}{\mu_1}). Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

\beta(g)=\mu\frac{d}{d\mu}g(g_1,\frac{\mu}{\mu_1})|_{g_1=g,\mu_1=\mu}

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik[3] e o campo vetorial \beta(g) é chamado função beta da constante de acoplamento g.

Campos massivos[editar | editar código-fonte]

Exemplo: grupo de renormalização perturbativo na teoria \lambda\phi^4[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

  1. Wilson. (1975). "The renormalization group: critical phenomena and the Kondo problem". Rev. Mod. Phys. 47 (4): 773.
  2. Há maneiras de regularizar uma teoria sem quebrar a invariância por simetrias clássicas. Em particular, o método de regularização dimensional é comum na prática.
  3. C. G. Callan, K. Symanzik. (1970). "Small Distance Behavior in Field Theory and Power Counting.". Comm. Math. Phys. 18: 227.