Grupo de renormalização

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa idéia foi introduzida por Kenneth Wilson e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de Renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos $\phi(x)$ e constantes de acoplamento $g$ descrita pela ação clássica $S(\phi,g)$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de $\phi(x)$

$\phi(x) = \int dk\;e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)$

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências $0\leq |k| \leq \infty$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta $\Lambda_{UV}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

$|k|\leq \Lambda_{UV}$

Chamaremos esse campos de $\phi_0(x)$ e diremos que ele é o campo na escala $\Lambda_{UV}$. Então

$\phi_0(x) = \int_{0\leq |k|\leq \Lambda_{UV}} dk\; e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)$

Também chamaremos a constante de acoplamento de $g_0$. A função partição sobre os campos $\phi_0(x)$ é

$Z=\int\mathcal{D}\phi_0\;e^{-S(\phi_0,g_0)}$

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo $\phi_0(x)$ é praticamente constante em distâncias menores que $\Delta x\simeq 1/\Lambda_{UV}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a intrudção desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo $1/\Lambda_{UV}\rightarrow 0$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita $\mu$ regulares.

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

$0\leq |k|\leq\mu$ e $\mu\leq |k|\leq\Lambda_{UV}$

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

$\phi_B(x) = \int_{0\leq |k|\leq \mu} dk\; e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)$

$\phi_A(x) = \int_{\mu\leq |k|\leq \Lambda_{UV}} dk\; e^{ikx}\; \hat{\phi}(k)$

onde B e A referemem a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que $\mu$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos $\leq \mu$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de $\phi_B(x)$. Ela pode ser obtida integrando sobre $\phi_A(x)$ na integral de trajetória, mantendo $\phi_B(x)$ variável

$e^{-S_{eff}(\phi_A,g_0)}=\int\mathcal{D}\phi_A\;e^{-S(\phi_B+\phi_A,g_0)}$

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia $\mu$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo $\Lambda_{UV}/\mu \rightarrow\infty$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

$g_0=g_0(g,\frac{\Lambda_{UV}}{\mu})$

$\phi_0(x)=Z(g,\frac{\Lambda_{UV}}{\mu})\phi(x)+\phi_A(x)$

Aqui, $\phi(x)$ e $g$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

$e^{-S_{eff}(\phi,g,\mu)}=\int\mathcal{D}\phi_A\;e^{-S(\phi_0,g_0)}$

é regular no limite para o contínuo. Os campos $\phi_0(x)$ e as contantes $g_0$ na escala de corte $\Lambda_{UV}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto $\phi(x)$ e $g$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar $\mu$ e variar $\Lambda_{UV}$. Nós fixamos os campos $\phi(x)$ e constantes de acoplamento $g$ numa escala $\mu$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus $\phi_0(x)$ e as contantes nuas $g_0$. Se pudermos mover $\Lambda_{UV}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia $\mu$ (descrito por $\phi(x)$ e $g$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover $\mu$, fixando $\Lambda_{UV}$ e consequentemente $\phi_0(x)$ e $g_0$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de $\mu_1$ para $\mu_2$, as constantes de acoplamento mudarão de $g_1=(g_0,\frac{\mu_1}{\Lambda_{UV}})$ para $g_2=g(g_0,\frac{\mu_2}{\Lambda_{UV}})$, onde $g(g_0,\frac{\mu}{\Lambda_{UV}})$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entr $\mu_1\leq |k|\leq \mu_2$, podemos repetir o raciocínio e escrever $g_2=g(g_1,\frac{\mu_2}{\mu_1})$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

$\beta(g)=\mu\frac{d}{d\mu}g(g_1,\frac{\mu}{\mu_1})|_{g_1=g,\mu_1=\mu}$

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik e o campo vetorial $\beta(g)$ é chamado função beta da constante de acoplamento $g$.