Limite

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Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Limite de uma sequência[editar | editar código-fonte]

Seja x_1, x_2, \ldots uma sequência de números reais. A expressão:

 \lim x_i = L

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto  (L - \epsilon, L + \epsilon) \mbox{ com } \epsilon > 0, o desafiado deve exibir um número natural N tal que \forall i\mbox{ com }i > N \Rightarrow x_i \in (L - \epsilon, L + \epsilon).

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim[1] :

\forall \epsilon >0,~\exists N\in\mathbb{N};~i\geq N \Rightarrow |x_i - L| < \epsilon.

Limite de uma função[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

 \lim_{x \to c}f(x) = L

significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c[2] [3] . Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando f(c) \neq L, ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos  f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \rightarrow 0.4 \leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade \lim_{x\to 2}f(x)=0.4.

Sempre que se verifique a igualdade f(c) = \lim_{x\to c} f(x), diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{se }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{se }x=2. \end{matrix}\right.

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2) e consequentemente g não é contínua em x = 2.

Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

 f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:[4]

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \rightarrow não está definido \leftarrow 2.001 2.010 2.10

Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de  f(x) é 2.[3]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

A definição ε-δ de limite.

Sejam I\subset\mathbb{R} um intervalo de números reais, a\in I e f:I-\{a\}\to\mathbb{R} uma função real definida em I-\{a\}. Escrevemos

L=  \lim_{x \to a}f(x)

quando para qualquer que seja  \varepsilon>0 existe um  \delta>0 tal que para todo  x \in I, satisfazendo 0<|x-a|< \delta, vale | f (x)-L|< \varepsilon[1] . Ou, usando a notação simbólica:

 L = \lim_{x \to a} f(x) \Leftrightarrow  \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 ; 0 < | x - a | < \delta  \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon  .

Aproximação intuitiva[editar | editar código-fonte]

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: f(x)=2x+1 e imaginando f:R->R (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: f(0)=2.0+1 que nos dá: f(0)=0+1 = 1, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:


Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f(x)=2x+1 nos Reais, calcular o limite da função f quando x -> 1. Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x) descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis[editar | editar código-fonte]

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por  | x - a |, não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte[5] :

Seja f uma função do tipo:

D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R}

x \longmapsto f(x) = z

Em que x é um vector com n coordenadas e z um número real. Se a for um vector com n coordenadas, então:

 \lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( x \in D\;\wedge 0 < d(x,a) < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x) - L| < \epsilon

Em que d(x,a) = \| x - a \| é a função distância.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Uma função do tipo:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}

(x,y) \longmapsto f(x,y) = z

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}

(x,y) \longmapsto f(x,y) = xy

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = L

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

  • o limite através do eixo dos yy, ou seja,

\lim_{x \to 0}f(x,0) = L

Nesse caso o limite L é zero.

  • o limite através do eixo dos xx, ou seja,

\lim_{y \to 0}f(0,y) = L

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

 \lim_{(x,y) \to (0, 0)} xy = 0

Ou seja, provar que

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \| (x,y) - (0,0) \| < \delta \right ) \Longrightarrow | xy - 0| < \epsilon \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \right ) \Longrightarrow | xy | < \epsilon

Vamos procurar escrever \delta em função de \epsilon.

\sqrt{x^2 + y^2} < \delta \Leftrightarrow x^2 + y^2 < \delta^2 (I)

|xy| \leq \max\{|x|,|y|\}^2 \leq x^2 + y^2 < \delta^2 (II), usando (I)

Se escolhermos \delta = \sqrt{\epsilon}, então, por (II),  |xy| < \delta^2 = \epsilon, o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}

(x,y) \longmapsto f(x,y) = {xy \over (x^2+y^2)}

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

x = \left(\cos \alpha\right)t

y = \left(\sin \alpha\right)t

a função toma a forma

f(x,y) = {\cos(\alpha)\sin(\alpha) \over (\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2} = {\sin(2\alpha) \over 2}

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.


Referências

  1. a b Lima, Elon Lages. Curso de Análise Vol.1. 14 ed. [S.l.]: IMPA, 2013. ISBN 9788524401183
  2. Anton, Howard. Cálculo - Volume 1. 8 ed. [S.l.]: Bookman, 2007. ISBN 9788560031634
  3. a b Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. Cengage, 2009, pg. 98.
  4. «Veja um exemplo ilustrado desta demonstração
  5. STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2007. 5ª edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 900.

Ver também[editar | editar código-fonte]