Limite

Nota: Esta página é sobre o conceito matemático de limite. Se procura outros significados da mesma expressão, consulte limite (desambiguação).

Nota: Convergência redireciona para esta página. Se procura outros significados da mesma expressão, consulte convergência (desambiguação).

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Limite de uma sequência

Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja $x_1, x_2, \ldots \,$ uma sequência de números reais. A expressão:

$\lim x_i = L \,$

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por exemplo, pelo intervalo aberto $(L - \epsilon, L + \epsilon) \mbox{ , em que } \epsilon > 0\,$, o desafiado deve exibir um número natural N tal que $\forall i (i > N \rightarrow x_i \in (L - \epsilon, L + \epsilon))\,$.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

$\forall \epsilon (\epsilon > 0 \rightarrow \exists N (\forall i (i > N \rightarrow |x_i - L| < \epsilon)))\,$

Limite de uma função

Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando $f(c) \neq L$, ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$	0.3998	0.3988	0.3882

À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade $\lim_{x\to 2}f(x)=0.4$. Sempre que se verifique a igualdade $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$, diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece

$g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{se }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{se }x=2. \end{matrix}\right.$

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas $\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)$ e consequentemente g não é contínua em x = 2.

Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

$f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	$\Rightarrow$ não está definido $\Leftarrow$	2.001	2.010	2.10

Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de $f(x)$ é 2.

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ contendo $a$ (excepto possivelmente $a$) e seja $L$ um número real. A expressão

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

significa que qualquer que seja $\varepsilon\ >0$ existe um $\delta\ >0$ tal que para todo $x \in I$, satisfazendo $0<|x-a|< \delta\$, vale $| f (x)-L|< \varepsilon\$. OU, usando a notação simbólica:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( x \in I\;\wedge 0 < | x - a | < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x) - L | < \epsilon$

Dito de maneira mais formal, um limite L é dado da seguinte maneira, segundo a idéia originalmente formulada por Cauchy:

um limite L dado pela fórmula:

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

onde L é o valor do qual difere o valor de $f$ a menos de um valor ε (epsilon) maior que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor δ (delta) maior que zero e função de ε (δ = f(ε))

$\delta = g(\epsilon) > 0 \Rightarrow 0 <|x-a|<\delta \to |f(x)- L| < \epsilon$

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: $f(x)=2x+1$ e imaginando $f:R->R$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: $f(0)=2.0+1$ que nos dá: $f(0)=0+1 = 1$, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

---

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: $f(x)=2x+1$ nos Reais, calcular o limite da função $f$ quando $x -> 1$. Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função $f(x)$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por $| x - a |$, não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte :

Seja $f$ uma função do tipo:

$D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ $\ x \longmapsto f(x) = z$

Em que $x$ é um vector com $n$ coordenadas e $z$ um número real. Se $a$ for um vector com $n$ coordenadas, então:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( x \in D\;\wedge 0 < d(x,a) < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x) - L| < \epsilon$

Em que $d(x,a) = \| x - a \|$ é a função distância.

Exemplo

Uma função do tipo:

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = z$

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = xy$

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)) = L$

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

---

• o limite através do eixo dos $yy$, ou seja,

$\lim_{x \to 0}f(x,0) = L$

Nesse caso o limite L é zero.

---

• o limite através do eixo dos $xx$, ou seja,

$\lim_{y \to 0}f(0,y) = L$

Nesse caso, o limite L é também zero.

---

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$\lim_{(x,y) \to (0, 0)} xy = 0$

Ou seja, provar que

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \| (x,y) - (0,0) \| < \delta \right ) \Longrightarrow | xy - 0| < \epsilon$ $\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \right ) \Longrightarrow | xy | < \epsilon$

Vamos procurar escrever $\delta$ em função de $\epsilon$.

$\sqrt{x^2 + y^2} < \delta \Leftrightarrow x^2 + y^2 < \delta^2$ (I)

$|xy| \leq max\{|x|,|y|\}^2 \leq x^2 + y^2 < \delta^2$ (II), usando (I)

Se escolhermos $\delta = \sqrt{\epsilon}$, então, por (II), $|xy| < \delta^2 = \epsilon$, o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = {xy \over (x^2+y^2)}$

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$x = \left(\cos \alpha\right)t$

$y = \left(\sin \alpha\right)t$

a função toma a forma

$f(x,y) = {\cos(\alpha)\sin(\alpha) \over (\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2} = {\sin(2\alpha) \over 2}$

Vê-se, então, que o valor do limite depende do angulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Ver também

• Limite de uma função
• Função contínua