Laplaciano

Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por $\Delta\,$  ou $\nabla^2$, sendo $\nabla$ o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas parciais que modelam problemas físicos.

Definição do laplaciano escalar

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

$\Delta \phi ={{\nabla }^{2}}\phi =\nabla \cdot \left( \nabla \phi \right)=\operatorname{div}\left( \operatorname{grad}\phi \right)$

Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, assim, o Laplaciano é definido como:

$\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}$

Laplaciano escalar em $\mathbb{R}^3$

O caso particular em $\mathbf{R}^3$, onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

Em coordenadas esféricas $\left(r,\theta,\phi\right)$, assume a forma:

$\Delta u = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial u \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial u\over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 u \over \partial \phi^2}$

Em coordenadas cilíndricas $\left(r,\phi,z\right)$, assume a forma:

$\Delta u = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial u \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 u \over \partial \phi^2} + {\partial^2 u \over \partial z^2 }$

Laplaciano escalar em $\mathbb{R}^2$

O caso particular em $\mathbf{R}^2$, onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

Em coordenadas polares $\left(r,\phi\right)$, assume a forma:

$\Delta u = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial u \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 u \over \partial \phi^2}$

Definição do laplaciano vetorial

Seja $\mathbf{A}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$, o Laplaciano é denotado por $\Delta$ e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de $\mathbf{u}=\left(A_1,\ldots,A_m\right)$:

$\Delta \mathbf{A} = \left(\triangle A_1,\ldots,\triangle A_m\right) = \Delta \mathbf{A}=\left( \Delta {{A}_{x}} \right)\mathbf{i}+\left( \Delta {{A}_{y}} \right)\mathbf{j}+\left( \Delta {{A}_{z}} \right)\mathbf{k}$

Laplaciano vetorial em $\mathbb{R}^3$ e coordenadas cartesianas

Em $\mathbb{R}^3$, vale a igualdade:

$\Delta\mathbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}$

O (importante) caso particular em que $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$, vale:

$\Delta\mathbf{A}=-\nabla\times\nabla\times\mathbf{A}$

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em $\mathbb{R}^3$ e coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas usual $r$, $\theta$, $z$, em $\mathbf{A}$:

$\begin{align} & \Delta \mathbf{A}=\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{z}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial r}-\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }-\frac{{{A}_{r}}}{{{r}^{2}}} \right){{\mathbf{a}}_{r}}+ \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{z}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial r}+\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }-\frac{{{A}_{\theta }}}{{{r}^{2}}} \right){{\mathbf{a}}_{\theta }}+ \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{z}}}{\partial {{z}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial {{A}_{z}}}{\partial r} \right){{\mathbf{a}}_{z}} \\ \end{align}$

Laplaciano vetorial em $\mathbb{R}^3$ e coordenadas esféricas

O sistema de coordenadas esféricas usual $r$, $\theta$, $\phi$, em $\mathbf{A}$:

$\begin{align} & \Delta \mathbf{A}=\left( \frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}(r{{A}_{r}})}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{r}}}{\partial {{\phi }^{2}}}+\frac{\cot \theta }{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }-\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }-\frac{2}{{{r}^{2}}\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \phi }-\frac{2{{A}_{r}}}{{{r}^{2}}}-\frac{2\cot \theta }{{{r}^{2}}}{{A}_{\theta }} \right){{\mathbf{a}}_{r}}+ \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}(r{{A}_{\theta }})}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\theta }}}{\partial {{\phi }^{2}}}+\frac{\cot \theta }{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \theta }-\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\cot \theta }{\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \phi }+\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \theta }-\frac{{{A}_{\theta }}}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta } \right){{\mathbf{a}}_{\theta }}+ \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}(r{{A}_{\phi }})}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\phi }}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }\frac{{{\partial }^{2}}{{A}_{\phi }}}{\partial {{\phi }^{2}}}+\frac{\cot \theta }{{{r}^{2}}}\frac{\partial {{A}_{\phi }}}{\partial \theta }+\frac{2}{{{r}^{2}}\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{r}}}{\partial \phi }+\frac{2}{{{r}^{2}}}\frac{\cot \theta }{\sin \theta }\frac{\partial {{A}_{\theta }}}{\partial \phi }-\frac{{{A}_{\phi }}}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta } \right){{\mathbf{a}}_{\phi }} \\ \end{align}$

Propriedades do laplaciano

O laplaciano é um operador linear:

• $\Delta\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)= \alpha \Delta f(x) +\beta \Delta g(x)$

A regra do produto:

• $\Delta(f g)=(\Delta f) g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f (\Delta g)$

Ligações externas

• Roldao da Rocha Jr. E. Capelas de Oliveira e Jayme Vaz Jr.; O laplaciano: de Gauss a Beltrami até Hodge-de Rham (formato PostScript)

Ver também

• Potencial newtoniano
• Gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Cálculo vetorial