Rotacional

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Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional de um campo vetorial é, também, um campo vetorial, ou seja a cada ponto do espaço aonde definimos o rotacional ele será dado por um vetor.

Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluido ali gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita. Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional.

Rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, com significado empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Dada um campo vetorial F(x,y,z), seu rotacional é :


\nabla \times F(x,y,z) = \begin{bmatrix}
{\frac{\partial F_z}{\partial y}} - {\frac{\partial F_y}{\partial z}} \\  \\
{\frac{\partial F_x}{\partial z}} - {\frac{\partial F_z}{\partial x}}\\  \\
{\frac{\partial F_y}{\partial x}} - {\frac{\partial F_x}{\partial y}}
\end{bmatrix}

Outra forma de apresentar o vetor rotacional é através de um produto vetorial, calculável através da seguinte mnemônica:


\nabla\times \vec F=\left|
\begin{matrix}
\hat i & \hat j & \hat k  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
F_x & F_y & F_z 
\end{matrix}\right|

Essas duas formas de apresentar o Rotacional de uma função valem apenas para funções vetoriais escritas em coordenadas retangulares.

Coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]


\nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left|
\begin{matrix}
\hat \rho & \rho \hat \phi & \hat z  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
F_{\rho} & \rho F_{\phi} & F_z 
\end{matrix}\right|

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]


\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2sen\theta}\left|
\begin{matrix}
\hat r & r sen \theta \hat \phi & r  \hat \theta  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial \theta}
\\ & & \\
F_r & r sen\theta F_{\phi} & rF_{\theta}
\end{matrix}\right|

Ver também[editar | editar código-fonte]

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