Transformação linear

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A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.

Diz-se que uma função T de V em W é uma transformação linear se

  • (\forall v,w\in V):T(v+w)=T(v)+T(w);
  • (\forall\alpha\in K)(\forall v\in V):T(\alpha v)=\alpha T(v).

Exemplos de transformações lineares:

  • a função T de K em K definida por T(x)=3x;
  • a função T de K^2 em K definida por T(x,y)=x+y;
  • a função T de K^2 em K^2 definida por T(x,y)=(3x+y,2x-2y);
  • se D for o espaço das funções deriváveis de R em R e se F for o espaço de todas as funções de R em R, então a derivação (isto é, a função de D em C que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se a ∈ K \ \{0\}, então a função T de K em K definida por T(x)=x+a não é uma transformação linear.

Se T for uma função de um espaço vetorial V num espaço vetorial W, então afirmar que T é linear equivale a afirmar que T preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores v_1,v_2 ∈ V e dois escalares \alpha_1,\alpha_2 ∈ K:

T(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)

Para qualquer aplicação linear T de V em W tem-se:

  • T(0)=0, pois T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.
  • se v ∈ V, então T(-v)=-T(v), pois T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.

Núcleo[editar | editar código-fonte]

O núcleo de uma transformação linear T de V em W, denotado por \ker(T), é o conjunto

\{v\in V\,|\,T(v)=0\} (onde 0 é o vetor nulo de W)

Exemplo: O núcleo da função T de K^3 em K^3 definida por T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2) é:

\ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4 \right\}

O conjunto \ker(T) é um subespaço vetorial de V, pois se v_1,v_2 ∈ \ker(T) e se \alpha_1,\alpha_2 ∈ K, então

T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=0,

ou seja, \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 ∈ \ker(T).

Se uma aplicação linear T de V em W for injectiva, então \ker(T)=\{0\}, pois T(0)=0 e, portanto, pela injectividade de T,o único vector v ∈ V tal que T(v)=0 é 0. Reciprocamente, se \ker(T)=\{0\}, então T é injectiva, pois, dados v,w ∈ V

T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in\ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w.

Imagem[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W espaços vectoriais sobre um corpo K. A imagem de uma transformação linear T de V em W é o conjunto

\operatorname{Im}(T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}.

Sejam w_,w_2 dois elementos da imagem de T e sejam \alpha_1,\alpha_2\in K. Então, como w_1,w_2 estão na imagem de T, há vectores v_1,v_2\in V tais que w_1=T(v_1) e que w_2=T(v_2), pelo que

\alpha_1w_1+\alpha_2w_2=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)\in\mathop{\mathrm{Im}}(T).

Logo, \operatorname{Im}(T) é um subespaço vectorial de W.

Dimensão da imagem e do núcleo[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W espaços vectoriais sobre um corpo K, sendo V de dimensão finita, e seja T uma transformação linear de V em W. Então

\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n=\dim(\ker(T)) e seja \{v_1,v_2,,v_n\} uma base de \ker(T). Como \ker(T) é um subespaço de V, pode-se completar essa base até obtermos uma base de V. Sejam então w_1,w_2, … ,w_m ∈ V tais que \{v_1,v_2,,v_n,w_1,w_2,,w_m\} seja uma base de V; em particular, \dim(V)=n+m. Vai-se provar que \{T(w_1),,T(w_m)\} é uma base de Im(T), de onde resultará que

\dim(\operatorname{Im}(T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(V)).

Se w ∈ Im(T), então w=T(v) para algum v ∈ V e v pode ser escrito sob a forma

v=\alpha_1v_1+\cdots\alpha_nv_n+\beta_1w_1+\cdots+\beta_mw_m,

pelo que

T(v)=\beta_1T(w_1)+\cdots+\beta_mT(w_m),

visto que v_1,v_2, … ,v_n ∈ \ker(T). Isto prova que \{T(w_1),,T(w_m)\} gera Im(T). Por outro lado, os vetores T(w_1),T(w_2) … T(w_m) são linearmente independentes, pois se \alpha_1,\alpha_2, … ,\alpha_m ∈ K forem tais que

\alpha_1T(w_1)+\alpha_2T(w_2)+\cdots+\alpha_mT(w_m)=0,

então

T\bigl(\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\bigr)=0\Rightarrow\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\in\ker(T),

de onde resulta que \alpha_1w_1+\alpha_2w_2+ ··· +\alpha_mw_m é uma combinação linear dos vetores v_1,v_2, … ,v_n, o que é só é possível se \alpha_1=\alpha_2=···=\alpha_m=0, pois o conjunto \{v_1,v_2,,v_n,w_1,w_2,,w_m\} é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais de transformações lineares[editar | editar código-fonte]

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijectiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se T for um endomorfismo de um espaço vetorial V de dimensão finita, então são condições equivalentes:

  1. T é injectivo;
  2. T é sobrejectivo;
  3. T é bijectivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T for sobrejectivo, então

\dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V)-\dim(\ker(T)),

pelo que \dim(\ker(T))=0 e, portanto, \ker(T)=\{0\}, pelo que T é injectivo. Por outro lado, se T for injectivo, então

0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname{Im}(T)),

pelo que \dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(T)) e, portanto, V=\operatorname{Im}(T), ou seja, T é sobrejectivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares[editar | editar código-fonte]

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R2 são bastante elucidativas:

  • rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
    \mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}
  • rotação por θ graus no sentido anti-horário:
    \mathbf{A}=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}
  • reflexão em torno do eixo x:
    \mathbf{A}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}
  • reflexão em torno do eixo y:
    \mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}
  • Projeção no eixo y:
    \mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}.

Espaço das Transformações Lineares[editar | editar código-fonte]

Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K. Seja L(V,W) definido como o conjunto de todas transformações lineares de V em W. Como funções, para quaisquer operadores T e U e qualquer escalar a, podemos definir T + U e aT por:

(T + U)(v) = T(v) + U(v)
(a T)(v) = a T(v)

É imediato provar que T + U e aT também são transformações lineares de V em W, e que L(V,W) com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre K.

Pelo fato de que, dadas bases de V e W, temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão n × m, concluímos que a dimensão de L(V,W) é nm (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares[editar | editar código-fonte]

Um caso particular importante é o espaço L(V,V), das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear T, podem-se definir as potências T2, T3, ou, de modo geral, Tn para qualquer n inteiro positivo. Portanto, se p(x) é um polinómio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):

p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n \implies p(T) = a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_n T^n

em que IV é o operador identidade em V.

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

  • Se p(x) e q(x) são polinómios, então p(T) + q(T) = (p + q)(T) e p(T) q(T) = (pq)(T).

Se o espaço V tem dimensão finita n, então L(V,V) também tem dimensão finita n2. Portanto, o conjunto de n2+1 operadores \{I_V, T, \ldots, T^{n^2} \} é linearmente dependente. Logo, existem escalares a_0, a_1, \ldots a_{n^2}, não todos nulos, tais que a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_{n^2} T^{n^2} = 0. Ou seja, existe um polinómio não-nulo p(x) tal que p(T) = 0.

Se existe um polinómio não-nulo f(x) tal que f(T) = 0, então o conjunto não-vazio dos polinómios q(x) tais que q(T) = 0 forma um ideal no anel de todos polinómios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinómio mónico p(x) tal que p(T) = 0. Este polinómio é chamado de polinómio mínimo de T.

Espaço dual[editar | editar código-fonte]

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. O espaço dual de V, representado por V*, é o espaço vetorial L(V,K) das transformações lineares de V em K.


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