Espaço vetorial

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Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.[1]

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a n (n \in \mathbb{N}) formam um espaço vetorial,[2] por exemplo, assim como grupos de matrizes m \times n[3] e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:

  1. Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.[4] [1] Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
  2. Um conjunto V dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de V\times V em V. Os elementos de V serão chamados de vetores.[4] [1]
  3. Uma operação \cdot de K \times V em V.

Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+) e produto (\cdot) para representar, em cada caso, duas funções distintas: a+b para elementos de K não é o mesmo que a+b para elementos de V, assim como a \cdot b para elementos de K não é o mesmo que a \cdot b quando a ∈ K e b ∈ V. Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar (+, \times) para as operações de K e (\oplus,\otimes) para as operações de V\times V em V e de K\times V em V. Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com seis elementos) (V, K, \oplus, \otimes, +, \times).

Os seguintes axiomas (além de K ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:[5] [1]

  1. (u+v)+w=u+(v+w) para u,v,w \in V (associatividade)
  2. Há um elemento 0 ∈ V, tal que, para cada v ∈ V, v+0=0+v=v (existência de elemento neutro)
  3. Para cada v ∈ V, existe u ∈ V tal que v+u=0 (existência de elemento oposto)
  4. Para cada v,u ∈ V, u+v=v+u (comutatividade)
  5. Para cada a,b ∈ K e cada v ∈ V, a \cdot (b \cdot v)=(a \cdot b) \cdot v (associatividade da multiplicação por escalar)
  6. Se 1 é a unidade de K, então, para cada v ∈ V, 1 \cdot v=v (existência do elemento neutro em V)
  7. Para cada a ∈ K e cada v,u ∈ V, a \cdot (v+u)=a \cdot v+a \cdot u (distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
  8. Para cada a,b ∈ K e cada v ∈ V, (a+b) \cdot v=a \cdot v+b \cdot v (distributiva da soma de escalares em relação à um vetor)

Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento u  cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por -v.

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto V é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo K, e definir adição em V e multiplicação por escalar em V. Então se V satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo K.

Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em V) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:

  • Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K. Então, como 1 \cdot v = v qualquer que seja v, temos que 0 \cdot v + v = 0 \cdot v + 1 \cdot v = (0+1) \cdot v = 1 \cdot v = v, ou seja, 0 \cdot v é o elemento neutro de V.
  • Em K, existe um elemento -1 tal que -1 + 1 = 0. Logo, (-1) \cdot v + v = (-1) \cdot v + 1 \cdot v = (-1 + 1) \cdot v = 0 \cdot v, ou seja, (-1) \cdot v é o elemento oposto de v.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja V formado por um único elemento a. Então, definindo-se a + a = a e k \cdot a = a para todo elemento k de um corpo K, temos que V é um espaço vetorial com K como corpo de escalares. Obviamente, como a é o elemento neutro de V, isto é, a=0, este espaço vetorial é representado por V = { 0 }.
  • Outro exemplo simples é considerar V = K, e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
  • Seja V=K^2 o conjunto dos pares ordenados de elementos de K. Então, definindo-se (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) e k \cdot (a,b) = (ka, kb), temos que V é um espaço vetorial.
  • Seja I um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de I em K é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
  • Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das categorias e o axioma da escolha.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se v  \in V, então 0 \cdot v=0.[6] Isto é assim porque
    0=0 \cdot v-0 \cdot v=(0-0) \cdot v=0 \cdot v.
  • Se v ∈ V, (-1) \cdot v=-v. Isto é assim porque
    (-1) \cdot v+v=(-1) \cdot v+1 \cdot v=((-1)+1) \cdot v=0 \cdot v=0.
  • Se a ∈ K e v ∈ V, então a \cdot (-v)=-(a \cdot v).[6] Isto é assim porque
    a \cdot (-v)+a \cdot v=a \cdot (-v+v)=a \cdot 0=0.

Terminologia[editar | editar código-fonte]

  • Um espaço vectorial sobre \mathbb{R}, o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
  • Um espaço vectorial sobre \mathbb{C}, o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
  • Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.

Tipos de espaços vectoriais[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d Noble & Daniel, 1986, p. 85–86
  2. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 46
  3. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 45
  4. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 47
  5. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 44
  6. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 50
  7. Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 159

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa. Álgebra Linear e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Atual, 1990. ISBN 9788570562975
  • Noble, Ben; James W. Daniel. Álgebra Linear Aplicada. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1986. ISBN 9788570540225

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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