Espaço vetorial

Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir.

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a $n$ ($n$ ∈ N) formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes $m$ × $n$ e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.

Definição

Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:

1. Um corpo $K$, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
2. Um conjunto $V$ dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de $V\times V$ em $V$. Os elementos de V serão chamados de vetores.
3. Uma operação . de $K \times V$ em $V$.

Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+) e produto (.) para representar, em cada caso, duas funções distintas: $a+b$ para elementos de $K$ não é o mesmo que $a+b$ para elementos de $V$, assim como $a.b$ para elementos de $K$ não é o mesmo que $a.b$ quando $a$ ∈ $K$ e $b$ ∈ $V$. Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar $(+, \times)$ para as operações de $K$ e $(\oplus,\otimes)$ para as operações de $V\times V$ em $V$ e de $K\times V$ em $V$. Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com 6 elementos) $(V, K, \oplus, \otimes, +, \times)$.

Os seguintes axiomas (além de K ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vectorial:

1. $(u+v)+w=u+(v+w)$ para u, v e w elementos de V (associatividade)
2. Há um elemento $0$ ∈ $V$, tal que, para cada $v$ ∈ $V$, $v+0=0+v=v$ (existência de elemento neutro)
3. Para cada $v$ ∈ $V$, existe $u$ ∈ $V$ tal que $v+u=0$ (existência de elemento oposto)
4. Para cada $v,u$ ∈ $V$, $u+v=v+u$ (comutatividade)
5. Para cada $a,b$ ∈ $K$ e cada $v$ ∈ $V$, $a.(b.v)=(a.b).v$
6. Se $1$ é a unidade de $K$, então, para cada $v$ ∈ $V$, $1.v=v$
7. Para cada $a$ ∈ $K$ e cada $v,u$ ∈ $V$, $a.(v+u)=a.v+a.u$
8. Para cada $a,b$ ∈ $K$ e cada $v$ ∈ $V$, $(a+b).v=a.v+b.v$

Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento $v$ cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por $-v$.

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, anéis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto $V$ é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo $K$, e definir adição em $V$ e multiplicação por escalar em $V$. Então se $V$ satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo $K$.

Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em V) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:

• Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K. Então, como 1.v = v qualquer que seja v, temos que 0.v + v = 0.v + 1.v = (0+1).v = 1.v = v, ou seja, 0.v é o elemento neutro de V
• Em K, existe um elemento -1 tal que -1 + 1 = 0. Logo, (-1).v + v = (-1).v + 1.v = (-1 + 1).v = 0.v, ou seja, (-1).v é o elemento inverso de v.

Exemplos

• Seja V formado por um único elemento a. Então, definindo-se a + a = a e k a = a para todo elemento k de um corpo K, temos que V é um espaço vetorial com K como corpo de escalares. Obviamente, como a é o elemento neutro de V, este espaço vetorial é representado por V = { 0 }.
• Outro exemplo trivial é considerar V = K, e as operações de espaço vetorial sendo as mesmas operações do corpo.
• Seja V = K² o conjunto dos pares ordenados de elementos de K. Então, definindo-se (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) e k . (a,b) = (ka, kb), temos que V é um espaço vetorial.
• Seja I um conjunto qualquer (chamado, neste contexto, de conjunto de indices). Então o conjunto das funções de I em K é um espaço vetorial, definindo-se naturalmente a soma de duas funções e o produto de um escalar por uma função.
• Este último exemplo é, de forma geral, a forma de qualquer outro espaço vetorial, porém este resultado requer, em sua demonstração, conceitos abstratos como a teoria das Categorias e o axioma da escolha.

Propriedades

• Se $v \in V$, então $0.v=0$. Isto é assim porque

$0=0.v-0.v=(0-0).v=0.v$.

• Se $v$ ∈ $V$, $(-1).v=-v$. Isto é assim porque

$(-1).v+v=(-1).v+1.v=((-1)+1).v=0.v=0$.

• Se $a$ ∈ $K$ e $v$ ∈ $V$, então $a.(-v)=-(a.v)$. Isto é assim porque

$a.(-v)+a.v=a.(-v+v)=a.0=0$.

Terminologia

• Um espaço vectorial sobre R, o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
• Um espaço vectorial sobre C, o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
• Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vectorial normado.

Tipos de Espaços Vectoriais

• Espaço Vectorial Euclidiano: É qualquer espaço real que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno.

• Espaço de Hilbert: É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo.

• Espaço normado: É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida

• Espaço de Banach: É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma.

• Espaço vectorial topológico: se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vectorial.

Veja também

• Base de um Espaço Vetorial
• Subespaço vetorial
• Módulo (álgebra): a generalização de espaço vetorial, quando o conjunto dos escalares é um anel
• Álgebra sobre um corpo: se existe uma multiplicação de vetores satisfazendo alguns axiomas

Ligações externas

• Wikilivros
• Wikcionário

• Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica: Livro do Prof. Jacir J. Venturi, de 242 páginas, disponível na íntegra para acesso gratuito.