Variedade (matemática)

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Em matemática, variedade é uma generalização da ideia de superfície. Há vários tipos de variedades, de acordo com as propriedades que possuem. As mais usuais são as variedades topológicas e as variedades diferenciáveis. As variedades são de interesse no estudo da geometria, da topologia, e da análise.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Considere a opinião de que a Terra é plana em contraste com a evidência moderna de que é aproximadamente esférica. A discrepância vem essencialmente do facto de, nas escalas pequenas que vemos, a terra parecer ser plana. Generalizando, qualquer objeto que seja quase "plano" em escalas pequenas é uma variedade. As variedades constituem uma generalização dos objetos que podem ser considerados planos, em torno de um dado ponto.

Construção geral[editar | editar código-fonte]

Quatro cartas de um círculo.

A ideia geral comum aos vários tipos de variedades consiste na decomposição de um conjunto em vários pedaços do mesmo tipo, de modo que estes pedaços se liguem bem.

Formalmente, considere-se um espaço topológico X\, e um grupo G\, de homeomorfismos de abertos de X\,. Uma variedade modelada no par (X,G)\, é um espaço topológico M\, dotado de um conjunto de homeomorfismos \phi_i:U_i\rightarrow V_i, onde U_i\, e V_i\, são abertos de M\, e X\,, respetivamente tais que:

  • \cup_i U_i=M
  • se U_i\cap U_j\neq\emptyset, então \phi_j\circ\phi_i^{-1}\in G

Cada função \phi_i\, é chamada uma carta, e a coleção de todas as cartas é chamada de atlas.

Variedades topológicas[editar | editar código-fonte]

Uma variedade topológica é uma variedade modelada no par (\R^n,\mbox{Homeo}(\R^n)), onde \mbox{Homeo}(\R^n) é o conjunto dos homeomorfismos de \R^n. Por outras palavras, uma variedade topológica é um espaço topológico que localmente é similar a um espaço euclidiano.

Variedades diferenciáveis[editar | editar código-fonte]

Uma variedade diferenciável é uma generalização de uma variedade topológica que traduz a ideia de diferenciabilidade. É uma variedade modelada no par (\R^n,\mbox{Difeo}(\R^n)), onde \mbox{Difeo}(\R^n) é o conjunto dos difeomorfismos de \R^n.

Dimensão[editar | editar código-fonte]

As variedades de dimensão 1 e 2 têm nomes especiais. Assim,

  • uma variedade de dimensão 1 chama-se uma curva;
  • uma variedade de dimensão 2 chama-se uma superfície.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

O exemplo básico de uma variedade é o próprio espaço euclidiano; muitas das suas propriedades recaem sobre as variedades. Além disso, todo o limite plano de um subconjunto do espaço euclidiano, como o círculo ou a esfera, é uma variedade.

Ver também[editar | editar código-fonte]